El cono CX sobre un espacio topológico X es el cociente de X×[0,1] obtenido al colapsar X×{0} a un único punto, llamado ápice; X×{1} es la base y el cono contrae X hacia el ápice a lo largo de radios.

Principio

Colapsar un extremo de un cilindro sobre X a un punto produce un ápice contractible unido a X; la construcción del cono convierte cualquier espacio en uno contractible respecto al ápice mientras mantiene la base como subespacio.

Demostración

Para cualquier espacio X, CX contiene una copia de X en la altura 1 y un único ápice en la altura 0; para X=S^n, el cono CS^n es homeomorfo a la bola D^{n+1}, que es contractible.

Aplicación incorrecta

Confundir el cono con la suspensión colapsando ambos extremos, o no distinguir entre cono reducido y no reducido, conduce a conclusiones erróneas en homotopía; colapsar un subconjunto propio de X×{0} en lugar de la rebanada entera cambia drásticamente la topología.

Consecuencia

La construcción del cono produce un espacio contractible siempre que X no esté vacío; los conos se usan para formar homotopías, construir conos de mapeo y realizar adjuntos celulares relativos en construcciones CW.

Inversión

La operación inversa es recuperar la base del cono o quitar el ápice; aunque a menudo se puede retraer un cono sobre su base, el ápice es contractible, por lo que la inversa no recupera en general el espacio original hasta homeomorfismo.

Límite

Las afirmaciones que dependen de un punto base o de sucesiones exactas de homotopía exigen cuidado: los conos son contractibles independientemente del punto base, pero las nociones de cono de mapeo y cono reducido requieren aplicaciones apuntadas o cocientes cuidados; topologías patológicas pueden romper intuiciones ingenuas.

Tensión semántica

Cono y suspensión son conceptos cercanos: el cono colapsa un solo extremo y produce un ápice contractible, mientras la suspensión colapsa ambos extremos y genera dos puntos distinguidos con diferente comportamiento homotópico.

Síntesis

El cono sobre X es el cociente de X×[0,1] que colapsa X×{0} a un ápice, produciendo un espacio con X como base y un ápice que hace que todo el cono sea contractible; los conos son bloques básicos para homotopías y construcciones de cofibra.