Une attribution qui associe à chaque point x d'un ensemble X une famille N(x) de sous-ensembles de X appelés voisinages de x ; ces familles sont en général non vides, chaque membre contient x ou au moins contient un ensemble ouvert autour de x, et elles sont stables par passage aux sur-ensembles de sorte que tout sur-ensemble d'un voisinage est encore un voisinage.

Principe

Les systèmes de voisinage véhiculent l'information locale de « proximité » en chaque point ; on retrouve une topologie en déclarant qu'un ensemble est ouvert s'il appartient à la famille de voisinages de chacun de ses points. Les axiomes d'un système de voisinage garantissent la cohérence des données locales entre les points.

Démonstration

Dans l'espace euclidien R^n, le système de voisinage en p associe à p la famille de tous les sous-ensembles de R^n qui contiennent une boule ouverte centrée en p. Dans la topologie discrète, N(p) est la famille de tous les sous-ensembles contenant p. Ces exemples montrent comment les mêmes axiomes produisent des comportements locaux familiers.

Mauvaise application

Confondre un seul ensemble voisinage avec le système complet de voisinages d'un point ou supposer que tout voisinage doit être lui-même ouvert ; utiliser des familles non stables par sur-ensembles ou omettant tout ensemble contenant un voisinage ouvert viole les axiomes et détache la structure d'une topologie.

Conséquence

Pour un système de voisinage satisfaisant les axiomes usuels, on peut définir directement la continuité, la convergence et les ouverts/fermés à partir des familles locales ; les systèmes de voisinage offrent donc une formulation point par point équivalente d'une topologie et une manière commode d'exprimer les propriétés locales.

Inversion

Inverser la condition de stabilité par sur-ensembles donne une attribution de voisinages « petits » stables par passage aux sous-ensembles (système de type idéal) ; de tels systèmes inversés caractérisent des notions d'ensembles négligeables plutôt que de grandeur et ne produisent pas une topologie au sens usuel.

Limite

S'applique à des attributions point par point ; n'affirme pas en soi des propriétés globales comme la séparabilité ou la compacité, et toute famille de sous-ensembles indexée par les points n'est pas un système de voisinage à moins de satisfaire les axiomes de stabilité et de compatibilité. Les systèmes de voisinage ne sont pas nécessairement déterminés par une base locale sauf si une base locale est fournie.

Tension sémantique

Le « système de voisinage » (la fonction attribuant des familles aux points) entre en tension avec le mot plus court « voisinage » (un seul ensemble contenant un point) et avec « base de voisinages » (une sous-famille génératrice) ; la confusion entre ces sens réduit la clarté quant à savoir si l'on décrit un ensemble, une famille génératrice ou une attribution point par point.

Synthèse

Un système de voisinage est l'encodage point par point de la topologie locale : en chaque point il enregistre quels sous-ensembles l'entourent, organisés de façon que les sur-ensembles conservent le statut d'entourage et que l'ensemble des données reconstruise les ouverts, la continuité et la convergence.