Una asignación que asocia a cada punto x de un conjunto X una familia N(x) de subconjuntos de X llamados vecindades de x; estas familias son típicamente no vacías, cada miembro contiene a x o al menos contiene un abierto alrededor de x, y son cerradas por paso a supersets de modo que cualquier supraconjunto de una vecindad es nuevamente una vecindad.

Principio

Los sistemas de vecindades empaquetan la información local de 'cercanía' en cada punto; se puede recuperar una topología declarando que un conjunto es abierto cuando pertenece a la familia de vecindades de cada uno de sus puntos. Los axiomas de sistema de vecindades aseguran la compatibilidad de los datos locales entre puntos.

Demostración

En el espacio euclidiano R^n, el sistema de vecindades en p asigna a p la familia de todos los subconjuntos de R^n que contienen alguna bola abierta centrada en p. En la topología discreta, N(p) es la familia de todos los subconjuntos que contienen p. Estos ejemplos muestran cómo los mismos axiomas generan comportamientos locales familiares.

Aplicación incorrecta

Confundir una única vecindad con el sistema completo de vecindades de un punto o suponer que toda vecindad debe ser abierta; usar familias que no son cerradas por supersets u omitir cualquier conjunto que contenga una vecindad abierta viola los axiomas y separa la estructura de una topología.

Consecuencia

Dado un sistema de vecindades que satisface los axiomas habituales, se pueden definir continuidad, convergencia y conjuntos abiertos/cerrados directamente a partir de las familias locales; los sistemas de vecindades ofrecen así una formulación punto por punto equivalente de una topología y una forma conveniente de expresar propiedades locales.

Inversión

Invertir la exigencia de estabilidad por supersets produce una asignación de vecindades 'pequeñas' cerradas por paso a subconjuntos (un sistema local tipo ideal); tales asignaciones invertidas capturan nociones de conjuntos despreciables en lugar de 'grandeza' y no producen una topología en el sentido habitual.

Límite

Se aplica a asignaciones por punto; no afirma por sí mismo propiedades globales como separabilidad o compacidad, y no toda familia de subconjuntos indexada por puntos es un sistema de vecindades a menos que satisfaga los axiomas de estabilidad y compatibilidad. Los sistemas de vecindades no tienen por qué estar determinados por una base local salvo que se especifique una base.

Tensión semántica

El término 'sistema de vecindades' (la función que asigna familias a puntos) compite con el más corto 'vecindad' (un solo conjunto que contiene un punto) y con 'base de vecindades' (una subfamilia generadora); la confusión entre estos reduce la claridad sobre si se describe un conjunto, una familia generadora o una asignación punto por punto.

Síntesis

Un sistema de vecindades es la codificación punto por punto de la topología local: en cada punto registra qué subconjuntos lo rodean, organizados de modo que los supersets conservan el estatus de entorno y el conjunto de datos reconstruye abiertos, continuidad y convergencia.