Eine Zuordnung, die jedem Punkt x einer Menge X eine Familie N(x) von Teilmengen von X zuordnet, die Nachbarschaften (Umgebungen) von x genannt werden; diese Familien sind typischerweise nichtleer, jedes Element enthält x oder zumindest eine offene Menge um x, und sie sind abgeschlossen unter Erweiterungen, so dass jede Obermenge einer Umgebung wieder eine Umgebung ist.

Prinzip

Nachbarschaftssysteme kodieren die lokale Idee von ‚Nähe‘ an jedem Punkt; man kann eine Topologie zurückgewinnen, indem man eine Menge als offen deklariert, wenn sie in der Nachbarschaftsfamilie jedes ihrer Punkte liegt. Die Axiome sorgen für Konsistenz der lokalen Angaben zwischen Punkten.

Demonstration

Im euklidischen Raum R^n ordnet das Nachbarschaftssystem in p die Familie aller Teilmengen zu, die eine offene Kugel um p enthalten. In der diskreten Topologie ist N(p) die Familie aller Teilmengen, die p enthalten. Diese Beispiele zeigen, wie dieselben abstrakten Axiome vertrautes lokales Verhalten erzeugen.

Fehlanwendung

Ein einzelnes Nachbarschaftsset mit dem gesamten Nachbarschaftssystem eines Punktes gleichsetzen oder annehmen, jede Umgebung müsse offen sein; die Verwendung von Familien, die nicht unter Obermengen abgeschlossen sind oder die Mengen, welche offene Umgebungen enthalten, auslassen, verletzt die Axiome und trennt die Struktur von einer Topologie.

Konsequenz

Aus einem nach den üblichen Axiomen definierten Nachbarschaftssystem lassen sich Stetigkeit, Konvergenz sowie offene/geschlossen Mengen direkt aus den lokalen Familien definieren; Nachbarschaftssysteme bieten somit eine äquivalente, punktweise Formulierung einer Topologie und sind nützlich zur Darstellung lokaler Eigenschaften.

Umkehrung

Wird die Abschlusserforderung unter Obermengen umgedreht, erhält man eine Zuordnung ‚kleiner‘ Umgebungen, die unter Teilmengen abgeschlossen sind (idealartige Lokalsysteme); solche invertierten Zuordnungen beschreiben eher vernachlässigbare oder verschwindende Mengen als ‚Großheit‘ und erzeugen im üblichen Sinn keine Topologie.

Abgrenzung

Gilt für Zuordnungen an einzelne Punkte; sagt nicht von selbst etwas über globale Eigenschaften wie Separabilität oder Kompaktheit aus, und nicht jede punktindizierte Familienzuordnung ist ein Nachbarschaftssystem, sofern sie nicht die Stabilitäts- und Kompatibilitätsaxiome erfüllt. Nachbarschaftssysteme müssen nicht durch eine lokale Basis bestimmt sein, sofern keine Basis angegeben ist.

Semantische Spannung

„Nachbarschaftssystem“ (die Abbildung, die Familien an Punkte zuordnet) konkurriert mit dem kürzeren Begriff „Nachbarschaft“ (eine einzelne Menge, die einen Punkt enthält) und mit „Nachbarschaftsbasis“ (eine erzeugende Teilfamilie); die Vermischung dieser Bedeutungen mindert die Präzision, ob man ein einzelnes Set, eine Erzeugerfamilie oder eine punktweise Zuordnung beschreibt.

Synthese

Ein Nachbarschaftssystem ist die punktweise Kodierung lokaler Topologie: Es verzeichnet an jedem Punkt, welche Teilmengen diesen umgeben, so dass Obermengen den Umgebungsstatus erhalten und die Gesamtheit der Daten offene Mengen, Stetigkeit und Konvergenz rekonstruiert.