Fonction sommatoire ψ(x)=Σ_{n≤x}Λ(n)=Σ_{p^k≤x}log p qui somme log p sur toutes les puissances de premiers p^k ≤ x ; elle compte les premiers avec multiplicité selon leurs contributions par puissance.

Principe

Aggréger les poids logarithmiques des puissances de premiers (via la fonction de von Mangoldt) pour que ψ capte à la fois les premiers et leurs puissances et soit étroitement liée aux propriétés analytiques de la fonction ζ.

Démonstration

Calculer ψ(10). On inclut Λ(2)=log2, Λ(3)=log3, Λ(4)=log2, Λ(5)=log5, Λ(7)=log7, Λ(8)=log2, Λ(9)=log3 ; la somme donne ψ(10)=3 log2 + 2 log3 + log5 + log7 ≈ 7,960.

Mauvaise application

Interpréter ψ(x) comme π(x) (le nombre de premiers) néglige la multiplicité des puissances de premiers et conduit à sous-estimer des sommes pondérées et à mal interpréter des formules explicites.

Conséquence

ψ(x) est l'objet standard dans de nombreux résultats sur la distribution des premiers ; l'asymptotique ψ(x) ~ x équivaut au théorème des nombres premiers et des estimations précises de ψ gouvernent les termes d'erreur du comptage des premiers.

Inversion

L'inverse est d'ignorer les puissances de premiers et de sommer uniquement sur les premiers (θ ou π), ce qui supprime l'information de multiplicité et modifie les liens avec les dérivées logarithmiques des génératrices multiplicatives.

Limite

Définie pour x réel ≥2 et construite à partir de Λ ; inclut chaque contribution de puissance de premier ≤ x mais exclut les composés qui ne sont pas des puissances de premiers ; sensible au placement exact des puissances.

Tension sémantique

Tension avec θ(x) et π(x) : ψ inclut les puissances de premiers et se comporte souvent de façon plus lisse en analyse que θ, mais les deux jouent des rôles analytiques et combinatoires différents.

Synthèse

La fonction ψ de Chebyshev est la somme cumulative des poids de von Mangoldt jusqu'à x, sommant log p sur toutes les puissances p^k ≤ x ; elle est la fonction sommatoire pondérée centrale qui relie les contributions des puissances de premiers aux objets analytiques comme ζ.