Función sumatoria ψ(x)=Σ_{n≤x}Λ(n)=Σ_{p^k≤x}log p que suma log p sobre todas las potencias de primos p^k ≤ x; cuenta primos con multiplicidad según las contribuciones de potencias.

Principio

Agregar los pesos logarítmicos de potencias de primos (mediante la función de von Mangoldt) para que ψ capture tanto primos como sus potencias y se vincule estrechamente con propiedades analíticas de la función zeta.

Demostración

Calcular ψ(10). Incluye Λ(2)=log2, Λ(3)=log3, Λ(4)=log2, Λ(5)=log5, Λ(7)=log7, Λ(8)=log2, Λ(9)=log3; sumando se obtiene ψ(10)=3 log2 + 2 log3 + log5 + log7 ≈ 7.960.

Aplicación incorrecta

Interpretar ψ(x) como simplemente π(x) (conteo de primos) descuida la multiplicidad de las potencias de primos y conduce a subestimaciones de sumas ponderadas y malos entendidos de fórmulas explícitas.

Consecuencia

ψ(x) es el objeto estándar en muchos resultados sobre la distribución de primos; la asintótica ψ(x) ~ x es equivalente al teorema de los números primos, y estimaciones precisas de ψ controlan los términos de error en el conteo de primos.

Inversión

La inversión es ignorar las potencias de primos y sumar solo sobre primos (θ o π), lo que elimina información de multiplicidad y altera las conexiones con derivadas logarítmicas de funciones generadoras multiplicativas.

Límite

Definida para x real ≥2 y construida a partir de Λ; incluye cada contribución de potencia de primo hasta x pero excluye compuestos que no sean potencias de primos; sensible a la colocación exacta de las potencias.

Tensión semántica

Tensión con θ(x) y π(x): ψ incluye potencias de primos y a menudo es más suave para propósitos analíticos que θ, pero ambos cumplen roles distintos en análisis y combinatoria.

Síntesis

La función ψ de Chebyshev es la suma acumulada de la ponderación de von Mangoldt hasta x, sumando log p sobre todas las potencias p^k ≤ x; es la función sumatoria ponderada central que conecta las contribuciones de potencias de primos con objetos analíticos como la zeta.