Summenfunktion ψ(x)=Σ_{n≤x}Λ(n)=Σ_{p^k≤x}log p, die log p über alle Primpotenzen p^k ≤ x aufsummiert; sie zählt Primzahlen mit Vielfachheit entsprechend ihren Primpotenzbeiträgen.

Prinzip

Primpotenz-Loggewichte (über die Von-Mangoldt-Funktion) aufsummieren, sodass ψ sowohl Primzahlen als auch ihre Potenzen erfasst und eng mit analytischen Eigenschaften der ζ-Funktion verknüpft ist.

Demonstration

Berechne ψ(10). Enthalten sind Λ(2)=log2, Λ(3)=log3, Λ(4)=log2, Λ(5)=log5, Λ(7)=log7, Λ(8)=log2, Λ(9)=log3; die Summe ist ψ(10)=3 log2 + 2 log3 + log5 + log7 ≈ 7,960.

Fehlanwendung

ψ(x) fälschlich als π(x) (Primzahlenzähler) zu interpretieren vernachlässigt die Vielfachheit durch Primpotenzen und führt zu Unterschätzungen gewichteter Summen und Fehlinterpretationen expliziter Formeln.

Konsequenz

ψ(x) ist das Standardobjekt in vielen Ergebnissen zur Primverteilung; die Asymptotik ψ(x) ~ x ist äquivalent zum Primzahlsatz, und präzise Abschätzungen von ψ steuern die Fehlerterme beim Primzählverhalten.

Umkehrung

Die Umkehr wäre, Primpotenzen zu ignorieren und nur über Primzahlen zu summieren (θ oder π), wodurch Vielfachheit verloren geht und Verbindungen zu logarithmischen Ableitungen multiplikativer Erzeugerfunktionen verändert werden.

Abgrenzung

Definiert für reelle x ≥ 2 und aus Λ aufgebaut; umfasst jede Primpotenzkontribution bis x, schließt aber zusammengesetzte Zahlen aus, die keine Primpotenzen sind; empfindlich gegenüber der exakten Lage der Primpotenzen.

Semantische Spannung

Spannung zu θ(x) und π(x): ψ schließt Primpotenzen ein und verhält sich oft analytisch glatter als θ, doch beide erfüllen unterschiedliche analytische und kombinatorische Zwecke.

Synthese

Die Chebyshev-ψ-Funktion ist die kumulative Von-Mangoldt-Gewichtung bis x, die log p über alle Primpotenzen p^k ≤ x aufsummiert; sie ist die zentrale gewichtete Summenfunktion, die Primpotenzbeiträge mit analytischen Objekten wie der ζ-Funktion verbindet.