Famille de fonctions arithmétiques σ_k(n) = ∑_{d|n} d^k qui sommant les k-ièmes puissances des diviseurs positifs de n ; cas particuliers courants : σ_0(n)=d(n) (nombre de diviseurs) et σ_1(n)=σ(n) (somme des diviseurs).

Principe

Multiplicative pour k fixé et calculable depuis la factorisation en puissances premières par σ_k(p^a) = (p^{(a+1)k} − 1) / (p^k − 1). Les σ_k traduisent comment la structure des diviseurs, pondérée par des puissances, s'agrège selon les facteurs premiers.

Démonstration

Exemple : n = 6 a pour diviseurs 1,2,3,6 donnant σ_0(6)=4, σ_1(6)=1+2+3+6=12, σ_2(6)=1+4+9+36=50. Pour k = 1, σ(n) intervient dans la définition des nombres parfaits (σ(n) = 2n).

Mauvaise application

Appliquer la formule pour puissances de premiers sans vérifier que k est fixé, utiliser σ_k pour k non entier sans préciser l'interprétation, ou confondre σ_k avec des fonctions multiplicatives issues d'autres convolutions (par ex. impliquant μ) conduit à des usages erronés.

Conséquence

Les σ_k relient la factorisation aux invariants additifs, apparaissent dans des identités de sommes de diviseurs, produits d'Euler et séries de Dirichlet, et caractérisent des classes d'entiers particulières (parfaits, abondants, déficients) pour k = 1.

Inversion

Un point de vue complémentaire est la somme des diviseurs propres s(n) = σ(n) − n ; étudier s met en évidence la déficience ou l'abondance. Autre contraste : privilégier les fonctions indicatrices/ de comptage (d) plutôt que les sommes pondérées (σ_k).

Limite

Définie pour les entiers positifs n et en général pour k entier (souvent k ≥ 0) ; les extensions à k négatif ou complexe exigent une interprétation analytique et des précautions. La multiplicativité et la formule fermée pour les puissances de premiers reposent sur la factorisation arithmétique.

Tension sémantique

Tension avec la fonction de comptage des diviseurs d(n) (σ_0) et avec des convolutions multiplicatives impliquant μ ou d'autres fonctions arithmétiques ; tension également entre caractérisations algébriques (nombres parfaits) et comportements analytiques (ordre moyen, séries de Dirichlet).

Synthèse

La famille σ_k(n) regroupe uniformément l'information des diviseurs en sommant leurs k-ièmes puissances ; la multiplicativité fournit des formules explicites pour les puissances de premiers, reliant la structure multiplicative des facteurs à des sommes additives de diviseurs, k modulant le poids des grands versus petits diviseurs.