Familia de funciones aritméticas σ_k(n) = ∑_{d|n} d^k que suman las k-ésimas potencias de los divisores positivos de n; casos comunes: σ_0(n)=d(n) (número de divisores) y σ_1(n)=σ(n) (suma de divisores).

Principio

Multiplicativa para k fijo y calculable desde la factorización en potencias de primos por σ_k(p^a) = (p^{(a+1)k} − 1) / (p^k − 1). Las σ_k codifican cómo la estructura de divisores ponderada por potencias se agrega a través de factores primos.

Demostración

Ejemplo: n = 6 tiene divisores 1,2,3,6 dando σ_0(6)=4, σ_1(6)=1+2+3+6=12, σ_2(6)=1+4+9+36=50. Para k = 1, σ(n) aparece en la definición de números perfectos (σ(n) = 2n).

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula de potencias de primos sin verificar que k es fijo, usar σ_k para k no entero sin aclarar su significado, o confundir σ_k con funciones multiplicativas de distinto origen por convolución (p. ej. que involucren μ) conduce a un uso indebido.

Consecuencia

Las σ_k conectan la factorización con invariantes aditivos, aparecen en identidades de sumas de divisores, productos de Euler y series de Dirichlet, y caracterizan clases especiales de enteros (perfectos, abundantes, defectuosos) cuando k = 1.

Inversión

Una perspectiva complementaria es la suma de divisores propios s(n) = σ(n) − n; estudiar s(n) resalta la deficiencia o abundancia. Otro contraste es usar funciones contadoras (d) en lugar de sumas ponderadas (σ_k).

Límite

Definida para enteros positivos n y habitualmente para k entero (a menudo k ≥ 0); las extensiones a k negativo o complejo requieren interpretación analítica y cautela. La multiplicatividad y la fórmula cerrada dependen de la factorización aritmética.

Tensión semántica

Hay tensión con la función de conteo de divisores d(n) (σ_0) y con convoluciones multiplicativas que involucran μ u otras funciones aritméticas; también existe tensión entre caracterizaciones algebraicas (números perfectos) y comportamientos analíticos (orden medio, series de Dirichlet).

Síntesis

La familia σ_k(n) agrupa de modo uniforme la información de divisores sumando sus k-ésimas potencias; la multiplicatividad da fórmulas explícitas en primpotencias que vinculan la estructura multiplicativa de la factorización con sumas aditivas de divisores, y k modula el peso de divisores grandes frente a pequeños.