Familie arithmetischer Funktionen σ_k(n) = ∑_{d|n} d^k, die die k-ten Potenzen der positiven Teiler von n aufsummieren; übliche Spezialfälle sind σ_0(n)=d(n) (Anzahl der Teiler) und σ_1(n)=σ(n) (Summe der Teiler).

Prinzip

Für festen k multiplikativ und aus der Primpotenzzerlegung zu berechnen durch σ_k(p^a) = (p^{(a+1)k} − 1) / (p^k − 1). Die σ_k kodieren, wie die durch Potenzen gewichtete Teilerstruktur über Primfaktoren aggregiert wird.

Demonstration

Beispiel: n = 6 hat Teiler 1,2,3,6, daher σ_0(6)=4, σ_1(6)=1+2+3+6=12, σ_2(6)=1+4+9+36=50. Für k = 1 tritt σ(n) in der Definition perfekter Zahlen auf (σ(n) = 2n).

Fehlanwendung

Die Primpotenzformel anwenden, ohne zu prüfen, dass k fest ist, σ_k für nicht-ganzzahlige k benutzen ohne Deutung, oder σ_k mit anderen konvolutionären Funktionen verwechseln (z. B. solche mit μ) ist missbräuchlich.

Konsequenz

σ_k-Funktionen verbinden Faktorisierung mit additiven Invarianten, erscheinen in Divisor-Summenidentitäten, Euler-Produkten und Dirichlet-Reihen und charakterisieren besondere Ganzzahlenklassen (perfekt, reichlich, mangelhaft) für k = 1.

Umkehrung

Eine komplementäre Sicht ist die Summe der echten Teiler s(n) = σ(n) − n; die Untersuchung von s macht Mangel oder Überfluss offenbar. Ein anderer Gegensatz ist das Zählen (d) statt des gewichteten Summierens (σ_k).

Abgrenzung

Definiert für positive ganze Zahlen n und üblicherweise für ganzzahliges k (oft k ≥ 0); Erweiterungen auf negative oder komplexe k erfordern analytische Einordnung. Multiplikativität und die geschlossene Primpotenzformel hängen von arithmetischer Faktorisierung ab.

Semantische Spannung

Spannung besteht gegenüber der Teilerzählfunktion d(n) (σ_0) und gegenüber konvolutionellen Beziehungen mit μ oder anderen arithmetischen Funktionen; es besteht auch Spannung zwischen algebraischen Charakterisierungen (perfekte Zahlen) und analytischem Verhalten (mittlerer Ordnung, Dirichlet-Reihen).

Synthese

Die σ_k-Familie fasst Teilerinformationen einheitlich zusammen, indem sie k-te Potenzen der Teiler aufsummiert; Multiplikativität liefert explizite Primpotenzformeln, die die multiplikative Faktorisierungsstruktur mit additiven Teilersummen verbinden, wobei k das Gewicht großer gegenüber kleiner Teiler steuert.