Fonction arithmétique d(n) (aussi notée τ(n)) égale au nombre de diviseurs positifs de l'entier n.

Principe

Multiplicative et calculable à partir de la décomposition en puissances premières n = ∏ p_i^{a_i} par d(n) = ∏ (a_i + 1) ; chaque exposant a_i fournit a_i + 1 choix pour l'exposant du diviseur.

Démonstration

Exemple : n = 28 = 2^2·7^1, donc d(28) = (2+1)·(1+1) = 6 ; les diviseurs positifs sont {1,2,4,7,14,28}.

Mauvaise application

Compter seulement les facteurs premiers distincts au lieu de tous les diviseurs, inclure les diviseurs négatifs sans préciser la convention, ou supposer la multiplicativité sur des facteurs non premiers entre eux, sont des erreurs fréquentes.

Conséquence

d(n) intervient dans des identités de sommes de diviseurs, des convolutions de Dirichlet et des résultats d'ordre moyen (croît lentement en moyenne) ; il fournit une mesure de la complexité arithmétique d'un entier et sert dans des estimations analytiques en théorie des nombres.

Inversion

À comparer avec la somme des diviseurs σ_1(n) : tandis que d compte la quantité, σ mesure la taille totale ; ou encore, l'indicatrice des nombres sans carré |μ(n)| distingue les nombres avec comportement 'petit' de d(n) de ceux qui ont un grand nombre de diviseurs dû aux puissances premières répétées.

Limite

Définie pour les entiers positifs n (l'extension à d'autres anneaux exige une réinterprétation) ; la multiplicativité repose sur la décomposition en puissances premières et n'est pas applicable autrement. La fonction compte les diviseurs positifs sauf convention contraire.

Tension sémantique

Souvent confondue avec les fonctions σ_k (en particulier σ_0 = d) et avec les fonctions qui comptent les facteurs premiers ; la distinction précise porte sur le fait de compter les diviseurs (d), de les sommer (σ) ou de compter les facteurs premiers (ω, Ω).

Synthèse

La fonction des diviseurs d(n)=τ(n) est la fonction arithmétique multiplicative donnant le nombre de diviseurs positifs de n via la formule d(n)=∏(a_i+1) issue de la factorisation en puissances premières ; elle fournit une mesure discrète de la complexité factorielle, omniprésente en théorie multiplicative.