Función aritmética d(n) (también denotada τ(n)) igual al número de divisores positivos del entero n.

Principio

Multiplicativa y calculable desde la factorización en potencias de primos n = ∏ p_i^{a_i} por d(n) = ∏ (a_i + 1); cada exponente a_i aporta a_i + 1 opciones para el exponente del divisor.

Demostración

Ejemplo: n = 28 = 2^2·7^1, por tanto d(28) = (2+1)·(1+1) = 6; los divisores positivos son {1,2,4,7,14,28}.

Aplicación incorrecta

Contar solo factores primos distintos en lugar de todos los divisores, incluir divisores negativos sin especificar la convención, o asumir multiplicatividad entre factores no coprimos son errores comunes.

Consecuencia

d(n) aparece en identidades de sumas de divisores, convoluciones de Dirichlet y resultados de orden medio (crece lentamente en promedio); proporciona una medida básica de la complejidad aritmética de un entero y sirve en estimaciones analíticas en teoría de números.

Inversión

Contraste con la suma de divisores σ_1(n): mientras d cuenta la cantidad, σ mide el tamaño total; la función indicadora de los libres de cuadrados |μ(n)| distingue números con comportamiento pequeño de d(n) de aquellos con mayor número de divisores por potencias repetidas de primos.

Límite

Definida para enteros positivos n (la extensión a otros anillos requiere reinterpretación); la multiplicatividad presupone factorización en potencias de primos y no vale sin ella. La función cuenta divisores positivos salvo convención explícita.

Tensión semántica

A menudo se confunde con funciones σ_k (especialmente σ_0 = d) y con funciones que cuentan factores primos; la distinción precisa es si se cuentan divisores (d), se suman (σ) o se cuentan factores primos (ω, Ω).

Síntesis

La función de divisores d(n)=τ(n) es la función aritmética multiplicativa que da el número de divisores positivos de n mediante d(n)=∏(a_i+1) a partir de la factorización en potencias de primos; actúa como medida discreta de la complejidad factorial, omnipresente en la teoría multiplicativa.