Arithmetische Funktion d(n) (auch τ(n) genannt), gleich der Anzahl der positiven Teiler der ganzen Zahl n.

Prinzip

Multiplikativ und aus der Primpotenzzerlegung n = ∏ p_i^{a_i} berechenbar durch d(n) = ∏ (a_i + 1); jeder Exponent a_i liefert a_i + 1 Möglichkeiten für den Teilerexponenten.

Demonstration

Beispiel: n = 28 = 2^2·7^1, also d(28) = (2+1)·(1+1) = 6; die positiven Teiler sind {1,2,4,7,14,28}.

Fehlanwendung

Nur die verschiedenen Primfaktoren zu zählen statt aller Teiler, negative Teiler einzubeziehen ohne Vorzeichenkonvention, oder Multiplikativität ohne Koprimalitätsannahme anzuwenden, sind häufige Fehler.

Konsequenz

d(n) tritt in Divisor-Summen-Identitäten, Dirichlet-Faltungen und in Aussagen zum mittleren Verhalten auf (wächst im Mittel langsam); sie liefert ein einfaches Maß der arithmetischen Komplexität einer Zahl und findet Anwendung in analytischen Abschätzungen der Zahlentheorie.

Umkehrung

Im Kontrast zur Summe der Teiler σ_1(n): während d die Anzahl zählt, misst σ die Gesamtsumme; die Betragsfunktion |μ(n)| für quadratfreie Zahlen trennt Fälle mit kleinem d(n) von solchen mit erhöhten Teilerzahlen wegen mehrfacher Primpotenzen.

Abgrenzung

Definiert für positive ganze Zahlen n (Erweiterungen auf andere Ringe erfordern Neuinterpretation); Multiplikativität setzt eine Primpotenzzerlegung voraus und gilt nicht ohne diese. Die Funktion zählt positive Teiler, sofern nicht anders angegeben.

Semantische Spannung

Wird oft mit σ_k-Funktionen (insbesondere σ_0 = d) und mit Funktionen zur Zählung von Primfaktoren verwechselt; die genaue Unterscheidung ist, ob man Teiler zählt (d), sie aufsummiert (σ) oder Primfaktoren (ω, Ω) zählt.

Synthese

Die Teilerfunktion d(n)=τ(n) ist die multiplikative arithmetische Funktion, die mittels d(n)=∏(a_i+1) aus der Primpotenzzerlegung die Anzahl der positiven Teiler liefert; sie ist ein grundlegendes Maß der faktoriellen Komplexität in der multiplikativen Zahlentheorie.