Suite ascendante des nombres rationnels irréductibles entre 0 et 1 dont les dénominateurs ne dépassent pas un entier positif N donné, ordonnés par valeur croissante et incluant 0/1 et 1/1.

Principe

Les termes adjacents a/b et c/d dans la suite de Farey d'ordre N satisfont bc − ad = 1 ; les médiantes et la règle d'addition de Farey génèrent des fractions intermédiaires sous contrainte de dénominateur.

Démonstration

Pour N = 5 la suite F5 est 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 ; les paires adjacentes vérifient la condition de déterminant et les médiantes dont le dénominateur ≤5 apparaissent entre voisins.

Mauvaise application

Supposer que la médiate de deux fractions appartient toujours à la même suite de Farey sans vérifier la borne sur le dénominateur ou l'adjacence peut produire une fraction qui n'est pas dans la suite.

Conséquence

Les suites de Farey organisent les rationnels selon la complexité du dénominateur, fournissent des identités utiles en théorie modulaire et analytique, et se relient à des constructions géométriques (par ex. cercles de Ford) et aux fractions continues.

Inversion

L'arbre de Stern–Brocot génère toutes les rationnelles positives sans borne fixe sur le dénominateur par itération de médiantes, en contraste avec Farey qui fixe un dénominateur maximal et n'énumère que des fractions réduites dans un intervalle.

Limite

La définition est spécifique à l'intervalle [0,1] et aux dénominateurs ≤ N ; on peut étendre aux autres intervalles ou aux rationnels réduits sans borne sur le dénominateur, mais alors des propriétés comme le déterminant d'adjacence changent.

Tension sémantique

Il faut distinguer les suites de Farey des énumérations de Stern–Brocot et des listes triées par dénominateur seules ; Farey met l'accent sur l'adjacence et la condition bc−ad=1 sous une coupure sur le dénominateur.

Synthèse

La suite de Farey d'ordre N est la liste ordonnée des rationnels réduits dans [0,1] de dénominateur au plus N, caractérisée par la condition de déterminant unité entre voisins et par la génération par médiantes soumise à la contrainte sur les dénominateurs.