La sucesión ascendente de números racionales reducidos entre 0 y 1 cuyos denominadores no exceden un entero positivo dado N, ordenada en aumento e incluyendo 0/1 y 1/1.

Principio

Términos adyacentes a/b y c/d en la sucesión de Farey de orden N satisfacen bc − ad = 1; las mediantes y la regla de adición de Farey generan fracciones intermedias bajo la cota de denominador.

Demostración

Para N = 5 la sucesión F5 es 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1; los pares adyacentes cumplen la condición del determinante y las mediantes con denominador ≤5 aparecen entre vecinos.

Aplicación incorrecta

Suponer que la medianta de dos fracciones pertenece siempre a la misma sucesión de Farey sin comprobar la cota del denominador o la adyacencia puede producir una fracción que no está en la sucesión.

Consecuencia

Las sucesiones de Farey organizan los racionales por la complejidad del denominador, proporcionan identidades útiles en teoría modular y analítica, y se conectan con construcciones geométricas (p. ej. círculos de Ford) y fracciones continuas.

Inversión

El árbol de Stern–Brocot genera todas las racionales positivas sin una cota fija de denominador mediante mediantes iteradas, en contraste con Farey que fija un denominador máximo y lista solo fracciones reducidas en un intervalo.

Límite

La definición es específica para el intervalo [0,1] y denominadores ≤ N; puede extenderse a otros intervalos o a racionales reducidos sin cota superior de denominador, pero entonces cambian propiedades como el determinante de adyacencia.

Tensión semántica

Distinguir sucesiones de Farey de enumeraciones Stern–Brocot y de listas ordenadas por denominador únicamente; Farey enfatiza la adyacencia y la condición bc−ad=1 bajo una cota en el denominador.

Síntesis

Una sucesión de Farey de orden N es la lista ordenada de racionales reducidos en [0,1] con denominadores a lo sumo N, caracterizada por la condición determinante unidad entre vecinos y por la generación por mediantes limitada por la cota de denominador.