Definition
Die aufsteigende Folge der gekürzten rationalen Zahlen zwischen 0 und 1, deren Nenner einen gegebenen positiven Integer N nicht überschreiten, geordnet in wachsender Reihenfolge und einschließlich 0/1 und 1/1.
Prinzip
Prinzip
Benachbarte Terme a/b und c/d in der Farey-Folge der Ordnung N erfüllen bc − ad = 1; Medianten und die Farey-Addition erzeugen Zwischenbrüche unter Berücksichtigung der Nennerbeschränkung.
Demonstration
Demonstration
Für N = 5 ist die Farey-Folge F5 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1; benachbarte Paare erfüllen die Determinantenbedingung und Medianten mit Nenner ≤5 erscheinen zwischen Nachbarn.
Fehlanwendung
Fehlanwendung
Die Annahme, die Mediante zweier Brüche gehöre immer zur gleichen Farey-Folge, ohne die Nennergrenze oder Adjazen zu prüfen, kann zu einem Bruch führen, der nicht in der Folge steht.
Konsequenz
Konsequenz
Farey-Folgen ordnen rationale Zahlen nach Nennerkomplexität, liefern Identitäten, die in der modularen und analytischen Zahlentheorie verwendet werden, und verbinden sich mit geometrischen Konstruktionen (z. B. Ford-Kreise) und Kettenbrüchen.
Umkehrung
Umkehrung
Der Stern–Brocot-Baum erzeugt alle positiven rationalen Zahlen ohne feste Nennergrenze durch iterative Medianten, im Gegensatz zu Farey, das eine maximale Nennergrenze festlegt und nur gekürzte Brüche in einem Intervall auflistet.
Abgrenzung
Abgrenzung
Die Definition bezieht sich speziell auf das Intervall [0,1] und Nenner ≤ N; man kann auf andere Intervalle oder auf gekürzte rationale Zahlen ohne obere Nennergrenze erweitern, aber Eigenschaften wie die Adjazenbedingung ändern sich dann.
Semantische Spannung
Semantische Spannung
Man unterscheidet Farey-Folgen von Stern–Brocot-Enumerationen und von nach Nenner sortierten Listen rationaler Zahlen; Farey betont Adjazen und die Bedingung bc−ad=1 unter einer Nennerobergrenze.
Synthese
Synthese
Eine Farey-Folge der Ordnung N ist die geordnete Liste der gekürzten Rationalzahlen in [0,1] mit Nennern höchstens N, charakterisiert durch die Einheitsdeterminantenbedingung für Nachbarn und die durch Nennerbegrenzung gesteuerte Mediantenbildung.