L'ensemble de tous les entiers congrus à un entier fixé a modulo un entier positif n, généralement noté [a]_n ou a (mod n) ; formellement la classe d'équivalence de a pour la relation x ≡ y (mod n).

Principe

Les classes de résidus sont les classes d'équivalence de la relation de congruence sur Z induite par la réduction modulo n ; elles partitionnent les entiers en n classes disjointes pour n>0.

Démonstration

Pour n = 5 la classe de résidus de 2 est {…, -8, -3, 2, 7, 12, …} ; un entier b appartient à la classe [2]_5 exactement lorsque b − 2 est divisible par 5.

Mauvaise application

Considérer une classe de résidus comme un unique entier canonique sans référence au modulo ou confondre des classes provenant de modules différents ; ou supposer que les opérations sur des représentants donnent toujours le même représentant au lieu de la même classe.

Conséquence

Une utilisation correcte fournit le langage de l'arithmétique modulaire : addition et multiplication se projettent en opérations bien définies sur les classes, et beaucoup de problèmes se ramènent à Z/nZ fini des classes.

Inversion

La vue inverse consiste à considérer une valeur entière isolée plutôt que sa classe de congruence entière ; cette perspective perd les propriétés de fermeture et la structure quotient naturelle par nZ.

Limite

Défini pour un modulo entier n≥1 ; les classes dépendent du modulo choisi et ne sont pas comparables entre modules différents sauf via des applications canoniques. Distinguer classes de résidus et restes ou représentants choisis.

Tension sémantique

Tension entre le terme informel « reste » (un représentant choisi) et la classe d'équivalence formelle ; on confond parfois un reste canonique avec la classe entière.

Synthèse

Une classe de résidus modulo n est l'atome algébrique de l'arithmétique modulaire : une classe d'équivalence sous la congruence qui partitionne Z et permet des opérations bien définies dans le quotient Z/nZ.