El conjunto de todos los enteros que son congruentes a un entero fijo a módulo un entero positivo n, usualmente escrito [a]_n o a (mod n); formalmente la clase de equivalencia de a bajo la relación x ≡ y (mod n).

Principio

Las clases de residuo son las clases de equivalencia de la relación de congruencia en Z inducida por la reducción módulo n; particionan los enteros en n clases disjuntas cuando n>0.

Demostración

Para n = 5 la clase de residuo de 2 es {…, -8, -3, 2, 7, 12, …}; un entero b pertenece a [2]_5 exactamente cuando b − 2 es divisible por 5.

Aplicación incorrecta

Tratar una clase de residuo como un único entero canónico sin referencia al módulo o confundir clases de diferentes módulos; o suponer que operaciones sobre representantes siempre producen el mismo representante en lugar de la misma clase.

Consecuencia

Usada correctamente, proporciona el lenguaje de la aritmética modular: suma y producto se trasladan a operaciones bien definidas sobre clases, y muchos problemas se reducen al conjunto finito Z/nZ de clases.

Inversión

La visión inversa es considerar un entero aislado en lugar de su clase de congruencia completa; esa perspectiva pierde propiedades de cierre y la estructura cociente natural por nZ.

Límite

Definido para módulo entero n≥1; las clases dependen del módulo elegido y no son comparables entre diferentes módulos salvo por aplicaciones canónicas. Distinguir clases de residuo de restos o representantes elegidos.

Tensión semántica

Existe tensión entre el término informal 'resto' (un representante elegido) y la clase de equivalencia formal; con frecuencia se confunde un resto canónico con la clase entera.

Síntesis

Una clase de residuo módulo n es la unidad algebraica de la aritmética modular: una clase de equivalencia bajo la congruencia que particiona Z y permite operaciones bien definidas en el cociente Z/nZ.