Die Menge aller ganzen Zahlen, die zu einer festen ganzen Zahl a modulo eines positiven ganzen n kongruent sind, üblicherweise geschrieben [a]_n oder a (mod n); formal die Äquivalenzklasse von a unter x ≡ y (mod n).

Prinzip

Restklassen sind die Äquivalenzklassen der Kongruenzrelation auf Z, die durch Reduktion modulo n entsteht; sie teilen die ganzen Zahlen in n disjunkte Klassen für n>0 auf.

Demonstration

Für n = 5 ist die Restklasse von 2 = {…, -8, -3, 2, 7, 12, …}; eine ganze Zahl b gehört genau dann zu [2]_5, wenn b − 2 durch 5 teilbar ist.

Fehlanwendung

Eine Restklasse als einzelne kanonische Zahl ohne Bezug auf den Modul zu behandeln oder Restklassen verschiedener Moduln zu verwechseln; oder anzunehmen, Operationen an Repräsentanten würden stets denselben Repräsentanten statt derselben Klasse ergeben.

Konsequenz

Bei korrekter Handhabung liefert das Konzept eine tragfähige Sprache für Modulare Arithmetik: Addition und Multiplikation sind auf Klassen wohldefiniert und viele Probleme reduzieren sich auf die endliche Menge Z/nZ.

Umkehrung

Die umgekehrte Sicht ist, eine einzelne ganze Zahl statt ihrer gesamten Kongruenzklasse zu betrachten; diese Sicht verliert Abschluss- und Quotienteneigenschaften durch nZ.

Abgrenzung

Definiert für Modul n≥1; Klassen hängen vom gewählten Modul ab und sind ohne kanonische Abbildungen nicht zwischen verschiedenen Moduln vergleichbar. Zu unterscheiden sind Restklassen und gewählte Reste oder Repräsentanten.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen dem informellen Begriff 'Rest' (ein gewählter Repräsentant) und der formalen Äquivalenzklasse; oft wird ein kanonischer Rest mit der ganzen Klasse verwechselt.

Synthese

Eine Restklasse modulo n ist die algebraische Grundeinheit der modularen Arithmetik: eine Äquivalenzklasse unter Kongruenz, die Z partitioniert und wohldefinierte Operationen im Quotienten Z/nZ ermöglicht.