Un entier naturel supérieur à 1 qui n'a pas d'autres diviseurs positifs que 1 et lui-même.

Principe

Les nombres premiers sont les éléments constitutifs multiplicatifs des entiers positifs : tout entier >1 se factorise de façon unique (à l'ordre près) en nombres premiers dans les entiers, ce qui fait des premiers les atomes du monoïde multiplicatif de N.

Démonstration

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11 ; par exemple 13 est premier car ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 13, tandis que 14 ne l'est pas car 14 = 2×7.

Mauvaise application

Considérer 1 comme premier (confusion historique) ou confondre la primalité dans Z avec les notions d'irréductibilité ou de primalité dans des anneaux quelconques sans vérifier les définitions peut induire en erreur ; supposer des résultats de densité sans énoncés précis est aussi une mauvaise application.

Conséquence

Les premiers sous-tendent le théorème fondamental de l'arithmétique, des résultats analytiques sur la distribution des premiers (par ex. le théorème des nombres premiers) et des applications telles que la cryptographie à clé publique ; les propriétés des premiers gouvernent les fonctions arithmétiques multiplicatives et les algorithmes de factorisation.

Inversion

Le complément logique d'un nombre premier est un nombre composé (ou 1, qui n'est ni premier ni composé) ; inverser la définition donne la classe des entiers ayant des diviseurs non triviaux.

Limite

La définition s'applique aux entiers positifs (nombres naturels) >1 ; dans d'autres anneaux ou contextes algébriques, il faut distinguer éléments premiers, éléments irréductibles et idéaux premiers : ces notions sont liées mais non identiques.

Tension sémantique

La tension apparaît entre la primalité élémentaire des entiers et les notions algébriques abstraites : dans des anneaux généraux un élément peut être irréductible sans être premier ; le terme « premier » porte donc des différences techniques selon l'anneau considéré.

Synthèse

Un nombre premier est un entier positif >1 qui ne se factorise pas non trivialement ; les premiers sont les constituants multiplicatifs atomiques des entiers et la base de la factorisation, des théorèmes de distribution et de nombreuses applications.