Eine natürliche Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler außer 1 und sich selbst hat.

Prinzip

Primzahlen dienen als multiplikative Bausteine der positiven ganzen Zahlen: Jede ganze Zahl größer als 1 zerfällt (bis auf Reihenfolge) eindeutig in Primfaktoren in Z, sodass Primzahlen die Atome des multiplikativen Monoids N sind.

Demonstration

Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11; zum Beispiel ist 13 prim, weil seine einzigen positiven Teiler 1 und 13 sind, während 14 nicht prim ist, da 14 = 2×7.

Fehlanwendung

Die 1 als Primzahl zu zählen (historische Verwirrung) oder die Primalität in Z mit Irreduzibilität oder Primalität in beliebigen Ringen zu verwechseln, ohne die Definitionen zu prüfen, kann irreführen; auch das unpräzise Annehmen von Dichtetheoremen ist Fehlgebrauch.

Konsequenz

Primzahlen sind Grundlage des Fundamentalsatzes der Arithmetik, analytischer Resultate zur Verteilung von Primzahlen (z. B. Primzahlsatz) und Anwendungen wie der Public-Key-Kryptographie; Eigenschaften von Primzahlen bestimmen multiplikative zahlentheoretische Funktionen und Faktorisierungsalgorithmen.

Umkehrung

Das logische Komplement einer Primzahl ist eine zusammengesetzte Zahl (oder 1, die weder prim noch zusammengesetzt ist); die Umkehrung der Definition liefert die Klasse der ganzen Zahlen mit nichttrivialen Teilern.

Abgrenzung

Die Definition gilt für positive ganze Zahlen (Natürliche Zahlen) >1; in anderen Ringen oder algebraischen Kontexten muss zwischen Primelementen, irreduziblen Elementen und Primidealen unterschieden werden—das sind verwandte, aber nicht identische Begriffe.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen elementarer Primalität in den ganzen Zahlen und abstrakten algebraischen Begriffen: In allgemeinen Ringen kann ein Element irreduzibel, aber nicht prim sein; das Wort ‚prim‘ trägt daher ringabhängige technische Unterschiede.

Synthese

Eine Primzahl ist eine positive ganze Zahl größer als 1, die sich nicht nichttrivial faktorisieren lässt; Primzahlen sind die atomaren multiplikativen Bausteine der ganzen Zahlen und bilden die Grundlage für Faktorisierung, Verteilungssätze und zahlreiche Anwendungen.