Une courbe sur une surface le long de laquelle la surface présente des singularités de type cuspide dans les profils transverses : localement l'application paramétrique a une cuspide dans la direction normale tandis que le lieu singulier lui-même est une courbe unidimensionnelle.

Principe

Singularité générique de corang 1 d'une application de R^2 vers R^3 apparaissant le long d'une courbe : le différentiel perd du rang transversalement et le profil transverse est équivalent à une cuspide plane (par exemple y^2 = x^3) tandis que le lieu singulier est lisse.

Démonstration

Modélisé localement par f(u,v) = (u, v^2, v^3) : le long de l'axe u la surface possède une coupe cuspidale dans le plan (v^2,v^3), produisant une arête visible de singularités cuspides.

Mauvaise application

Qualifier toute ligne prononcée sur une surface d'arête cuspide sans vérifier le type de singularité locale ; confondre une arête cuspide avec un pli ou une crête aiguë dont le profil transverse n'est pas une cuspide véritable.

Conséquence

La géométrie et l'analyse près de l'arête changent : les normales peuvent ne pas s'étendre de façon lisse au-delà de l'arête, les invariants de courbure sont singuliers ou unilatéraux, et les raisonnements PDE ou d'écoulement basés sur la structure de variété exigent des adaptations pour gérer le comportement cuspidal.

Inversion

Une arête régulière ou une courbe frontière lisse : une courbe sur une surface où les paramétrisations locales conservent le rang plein (pas de cuspide dans le profil transverse) et où la surface est une 2-variété lisse au voisinage de la courbe.

Limite

Désigne spécifiquement des singularités de type cuspide transverses le long d'un lieu unidimensionnel ; exclut les points cuspides isolés, les simples plis (discontinuité de la tangente sans profil en cuspide) et les intersections purement dues à un recouvrement.

Tension sémantique

Tension avec le vocabulaire pli/crête : les arêtes cuspides sont des singularités détectées par le rang différentiel et le comportement des normales, tandis que les plis se définissent par une discontinuité du plan tangent et les crêtes par une concentration de courbure — ces phénomènes peuvent coïncider mais sont conceptuellement distincts.

Synthèse

Une arête cuspide est une courbe lisse le long d'une surface où chaque coupe transversale présente une cuspide : analytiquement une dégénérescence de corang 1 produisant des profils en cuspide et géométriquement une ligne de points singuliers qui modifie le comportement des normales et de la courbure.