Eine Kurve auf einer Fläche, entlang der die Fläche in transversalen Querschnitten cuspidenartige Singularitäten zeigt: lokal hat die Abbildung von Parametern in den umgebenden Raum in Normalrichtung eine Kuspise, während die Singularitätsmenge selbst eindimensional ist.

Prinzip

Eine generische Korang-1-Singularität einer Abbildung von R^2 nach R^3, die entlang einer Kurve auftritt: Die Ableitung verliert transversal Rang und das transversale Profil ist einer ebenen Kuspise (z. B. y^2 = x^3) äquivalent, während die Singularitätslokalität glatt ist.

Demonstration

Lokal modelliert durch f(u,v) = (u, v^2, v^3): Entlang der u-Achse hat die Fläche einen cuspidalen Querschnitt in der (v^2,v^3)-Ebene und erzeugt eine sichtbare Kante von Kuspissingularitäten.

Fehlanwendung

Jede scharf erscheinende Linie auf einer Fläche als kuspidale Kante zu bezeichnen, ohne den lokalen Singularitätstyp zu prüfen; eine kuspidale Kante mit einem Knick oder einer scharfen Kante zu verwechseln, bei denen das transversale Profil keine echte Kuspise ist.

Konsequenz

Geometrie und Analyse in der Nähe der Kante ändern sich: Normale Felder können sich nicht glatt fortsetzen, Krümmungsinvarianten sind singulär oder einseitig, und Standardargumente für PDG oder Flüsse, die auf Mannigfaltigkeitsannahmen beruhen, müssen für Kuspisen angepasst werden.

Umkehrung

Eine reguläre Kante oder glatte Randkurve: eine Kurve auf einer Fläche, bei der lokale Parametrisierungen vollen Rang behalten (keine Kuspise im transversalen Profil) und die Fläche in der Nachbarschaft eine glatte 2-Mannigfaltigkeit ist.

Abgrenzung

Bezieht sich spezifisch auf cuspidenartige transversale Singularitäten entlang einer eindimensionalen Lokalität; schließt isolierte Kuspispunkte, rein faltartige Knicke (Tangenten-Discontinuity ohne Kuspisenprofil) und Schnittmengen aus, die nur aus Überlappung resultieren.

Semantische Spannung

Spannung zum Vokabular Knick/Grat: Kuspide Kanten sind Singularitäten, die durch Rangdefizit und Normalverhalten erkannt werden, während Knicke durch Tangenten-Discontinuities und Grate durch Krümmungskonzentration charakterisiert sind — diese Phänomene können zusammenfallen, sind aber begrifflich verschieden.

Synthese

Eine kuspide Kante ist eine glatte Kurve entlang einer Fläche, bei der jeder transversale Schnitt eine Kuspise zeigt: analytisch eine Korang-1-Degeneration, die cuspidenartige Profile erzeugt, und geometrisch eine Linie singulärer Punkte, die Normalen- und Krümmungsverhalten verändert.