Una curva sobre una superficie a lo largo de la cual la superficie presenta singularidades de tipo cúspide en cortes transversales: localmente la aplicación desde parámetros al espacio ambiente tiene una cúspide en dirección normal mientras que el locus singular es una curva unidimensional.

Principio

Una singularidad genérica de corango 1 de una aplicación de R^2 a R^3 que aparece a lo largo de una curva: la diferencial pierde rango transversalmente y el perfil transversal es equivalente a una cúspide plana (p. ej. y^2 = x^3), mientras que el lugar singular es liso.

Demostración

Modelado localmente por f(u,v) = (u, v^2, v^3): a lo largo del eje u la superficie tiene una sección cúspide en el plano (v^2,v^3), produciendo una arista visible de singularidades cuspidales.

Aplicación incorrecta

Denominar arista cuspidal a cualquier línea que parezca afilada en una superficie sin comprobar el tipo de singularidad local; confundir una arista cuspidal con un pliegue o una cresta afilada cuyo perfil transversal no es una cúspide verdadera.

Consecuencia

La geometría y el análisis próximos a la arista cambian: las normales pueden no extenderse suavemente a través de la arista, los invariantes de curvatura son singulares o unilaterales, y los argumentos estándar de EDP o flujos basados en la estructura de variedad requieren modificaciones para tratar el comportamiento cúspide.

Inversión

Una arista regular o curva límite suave: una curva en una superficie donde las parametrizaciones locales mantienen rango completo (no hay cúspide en el perfil transversal) y la superficie es una 2-variedad suave en el entorno de la curva.

Límite

Se refiere específicamente a singularidades transversales de tipo cúspide a lo largo de un lugar unidimensional; excluye puntos cúspides aislados, pliegues puros (discontinuidad de la tangente sin perfil cúspide) y las intersecciones debidas únicamente a solapamiento.

Tensión semántica

Tensión con el vocabulario pliegue/cresta: las aristas cuspídales son singularidades detectadas por el rango diferencial y el comportamiento de las normales, mientras que los pliegues se definen por discontinuidad del plano tangente y las crestas por concentración de curvatura — estos fenómenos pueden coincidir pero son conceptualmente distintos.

Síntesis

Una arista cuspidal es una curva lisa en una superficie donde cada corte transversal presenta una cúspide: analíticamente una degeneración de corango 1 que produce perfiles cúspide y geométricamente una línea de puntos singulares que modifica el comportamiento de normales y curvaturas.