Étude des relations d'incidence et des invariants sous les transformations projectives, étendant la géométrie affine par l'ajout de points à l'infini pour que les droites parallèles se rencontrent, en mettant l'accent sur le birapport, la perspectivité et la dualité entre points et droites tout en ignorant les mesures métriques.

Principe

Organiser la géométrie par l'invariance sous le groupe linéaire projectif : préserver l'incidence et le birapport, permettre la compacité de l'espace affine par un hyperplan à l'infini, et traiter symétriquement les énoncés duaux (points ↔ droites).

Démonstration

Dans le plan projectif réel, deux droites distinctes se coupent toujours en un unique point (éventuellement à l'infini). Une colinéation envoie droites sur droites ; le birapport de quatre points colinéaires est invariant par applications projectives et distingue des configurations non équivalentes projectivement.

Mauvaise application

Employer des notions euclidiennes de distance ou supposer que les rapports affines sur droites non parallèles conservent leur sens ; confondre équivalence projective et congruence conduit à identifier à tort des figures qui diffèrent métriquement.

Conséquence

Une utilisation correcte permet la classification des coniques et des constructions en perspective, unifie des résultats de type Desargues et Pappus, et autorise un raisonnement sans coordonnées sur la perspectivité, les ensembles harmoniques et les invariants projectifs dans différents modèles.

Inversion

Revenir à la géométrie affine supprime l'identification du parallélisme via des points à l'infini et réintroduit le comportement distinct des droites parallèles ; revenir aux géométries métriques réintroduit distances et angles absents de l'approche projective.

Limite

S'applique aux espaces projectifs sur corps ou anneaux à division et aux structures d'incidence synthétiques ; exclut les notions métriques, et de nombreuses assertions projectives échouent sur des anneaux dégénérés ou sans propriétés de corps suffisantes.

Tension sémantique

Tension avec la géométrie affine (traitement du parallélisme) et avec la géométrie métrique (présence de distances) ; tension aussi entre les axiomes projectifs synthétiques et les modèles projectifs algébriques en coordonnées.

Synthèse

La géométrie projective généralise la perspective et l'incidence en adjoint des points à l'infini et en imposant des invariants projectifs comme le birapport et la dualité : elle étudie les configurations à une transformation projective près où le parallélisme cesse d'être exceptionnel.