Die Untersuchung von Inzidenzrelationen und Invarianten unter projektiven Transformationen, die die affine Geometrie erweitern, indem Punkte im Unendlichen hinzugenommen werden, sodass parallele Geraden sich schneiden; im Zentrum stehen Doppelverhältnis, Perspektivität und Dualität zwischen Punkten und Geraden, metrische Maße bleiben unberücksichtigt.

Prinzip

Geometrie nach Invarianz unter der projektiv-linearen Gruppe organisieren: Inzidenz und Doppelverhältnis bewahren, die affine Ebene durch eine Unendlichkeitshyperfläche kompaktieren und duale Aussagen (Punkte ↔ Geraden) symmetrisch behandeln.

Demonstration

In der reellen projektiven Ebene schneiden sich zwei verschiedene Geraden stets in genau einem Punkt (gegebenenfalls im Unendlichen). Eine Kollineation bildet Geraden auf Geraden ab; das Doppelverhältnis vierer kollinearer Punkte bleibt unter projektiven Abbildungen invariant und charakterisiert projektive Klassen von Konfigurationen.

Fehlanwendung

Euklidische Distanz- oder Winkelbegriffe anwenden oder annehmen, dass affine Verhältnisse auf nicht-parallelen sich schneidenden Geraden weiterhin sinnhaft sind; projektive Äquivalenz mit Kongruenz zu verwechseln führt zu falschen Identifikationen metrisch verschiedener Figuren.

Konsequenz

Richtig angewandt ermöglicht es die Klassifikation von Kegelschnitten und perspektivischen Konstruktionen, vereinheitlicht Desargues- und Pappus-artige Resultate und erlaubt koordinatenfreies Schließen über Perspektivität, harmonische Mengen und projektive Invarianten in verschiedenen Modellen.

Umkehrung

Die Rückkehr zur affinen Geometrie entfernt die Identifikation des Parallelismus durch Punkte im Unendlichen und stellt das spezielle Verhalten paralleler Geraden wieder her; die Rückkehr zu metrischen Geometrien führt Abstände und Winkel wieder ein.

Abgrenzung

Gilt für projektive Räume über Körpern oder Schiefkörpern und für synthetische Inzidenzstrukturen; schließt metrische Begriffe aus, und viele projektive Aussagen versagen über degenerierten Ringen oder ohne ausreichende Körpereigenschaften.

Semantische Spannung

Spannung besteht gegenüber der affinen Geometrie (Behandlung des Parallelismus) und gegenüber der metrischen Geometrie (Vorhandensein von Abständen); außerdem Spannung zwischen synthetischen projektiven Axiomen und algebraischen, koordinatenbasierten Modellen.

Synthese

Die projektive Geometrie abstrahiert Inzidenz und Perspektive durch Hinzunahme von Punkten im Unendlichen und durch projektiv-lineare Invarianten wie Doppelverhältnis und Dualität: sie betrachtet Konfigurationen bis auf projektive Transformationen, in denen Parallelität nicht mehr auffällig ist.