Estudio de las relaciones de incidencia y de los invariantes bajo transformaciones proyectivas, que extiende la geometría afín añadiendo puntos en el infinito para que las rectas paralelas se corten, centrando la atención en el cociente cruzado, la perspectiva y la dualidad entre puntos y rectas, mientras se ignoran medidas métricas.

Principio

Organizar la geometría por invariancia bajo el grupo lineal proyectivo: preservar incidencia y cociente cruzado, compactificar el espacio afín mediante un hiperplano en el infinito y tratar simétricamente las afirmaciones duales (puntos ↔ rectas).

Demostración

En el plano proyectivo real, dos rectas distintas siempre se intersectan en un punto único (posiblemente en el infinito). Una colineación envía rectas a rectas; el cociente cruzado de cuatro puntos colineales es invariante por aplicaciones proyectivas y distingue configuraciones no equivalentes proyectivamente.

Aplicación incorrecta

Aplicar nociones euclidianas de distancia o suponer que las razones afines en rectas no paralelas siguen siendo pertinentes; confundir equivalencia proyectiva con congruencia conduce a identificar equivocadamente figuras que difieren métricamente.

Consecuencia

Su uso correcto permite clasificar cónicas y construcciones en perspectiva, unifica resultados de tipo Desargues y Pappus, y posibilita razonamientos sin coordenadas sobre perspectiva, conjuntos armónicos e invariantes proyectivos entre distintos modelos.

Inversión

Regresar a la geometría afín elimina la identificación del paralelismo mediante puntos en el infinito y reintroduce el comportamiento diferencial de rectas paralelas; regresar a geometrías métricas reintroduce distancias y ángulos ausentes en la perspectiva proyectiva.

Límite

Se aplica a espacios proyectivos sobre cuerpos o anillos divididos y a estructuras de incidencia sintéticas; excluye nociones métricas, y muchas afirmaciones proyectivas fallan sobre anillos degenerados o sin propiedades de cuerpo suficientes.

Tensión semántica

Tensión con la geometría afín (tratamiento del paralelismo) y con la geometría métrica (presencia de distancias); también tensión entre axiomas proyectivos sintéticos y modelos proyectivos algebraicos con coordenadas.

Síntesis

La geometría proyectiva abstrae la incidencia y la perspectiva añadiendo puntos en el infinito e imponiendo invariantes proyectivos como el cociente cruzado y la dualidad: estudia configuraciones hasta transformaciones proyectivas donde el paralelismo deja de ser excepcional.