Une représentation d’un point par rapport aux sommets d’un simplexe (par exemple un triangle) à l’aide de poids proportionnels aux aires ou volumes signés ; les poids sont normalisés pour que leur somme vaut un et déterminent la combinaison affine des sommets produisant le point.

Principe

Tout point du supplémentaire affine d’un simplexe s’exprime (hors cas dégénérés) comme une moyenne pondérée des sommets avec des coefficients sommant à un ; les relations géométriques se traduisent en relations algébriques entre ces poids.

Démonstration

Pour un point P dans le plan du triangle ABC, calculer trois scalaires α, β, γ proportionnels aux aires des triangles PBC, PCA et PAB, normaliser pour obtenir α+β+γ=1 ; on a alors P = αA + βB + γC, donnant les coordonnées barycentriques (α,β,γ).

Mauvaise application

Considérer les coordonnées barycentriques comme des coordonnées cartésiennes sans imposer la contrainte de somme égale à un, ou les utiliser hors de l’espace affine du simplexe (par exemple appliquer des formules d’aire sur des points non coplanaires) mène à des erreurs.

Conséquence

Bien appliquées, les coordonnées barycentriques linéarisent de nombreuses constructions géométriques : intersections de droites, céviennes et équations de coniques deviennent des relations linéaires ou rationnelles en les poids, simplifiant démonstrations et calculs.

Inversion

Au lieu de représenter un point par des poids sur les sommets, on peut le représenter par des coordonnées cartésiennes absolues ; cette inversion perd l’invariance intrinsèque par transformations affines que conservent les coordonnées barycentriques.

Limite

S’applique aux espaces affines engendrés par des simplexes (segments, triangles, tétraèdres) et s’étend aux aires/volumes signés ; exclut les variétés non affines et les contextes où les sommets sont indéfinis ou dégénérés (colinéarité ou coplanarité nécessite des passages à la limite).

Tension sémantique

Les coordonnées barycentriques s’opposent aux coordonnées homogènes et cartésiennes : les formes homogènes expriment le comportement projectif tandis que les cartésiennes sont globales ; les barycentriques sont locales à un simplexe et naturellement affines mais pas globales sur un domaine quelconque.

Synthèse

Les coordonnées barycentriques sont une représentation par poids affines liée à un simplexe : en assignant aux sommets des poids normalisés proportionnels aux aires/volumes signés on obtient un système de coordonnées qui transforme assertions d’incidence et de rapport en relations d’algèbre linéaire, stable par affinités.