Una representación coordenada de un punto respecto a los vértices de un simplejo (por ejemplo un triángulo) usando pesos proporcionales a áreas o volúmenes con signo; los pesos se normalizan para sumar uno y determinan la combinación afín de los vértices que produce el punto.

Principio

Todo punto en el espacio afín generado por un simplejo puede expresarse (salvo casos degenerados) como un promedio ponderado de los vértices con coeficientes que suman uno; las relaciones geométricas se traducen en relaciones algebraicas entre esos pesos.

Demostración

Para un punto P en el plano del triángulo ABC, calcular tres escalares α, β, γ proporcionales a las áreas de los triángulos PBC, PCA y PAB y normalizarlos para que α+β+γ=1; entonces P = αA + βB + γC y las coordenadas baricéntricas son (α,β,γ).

Aplicación incorrecta

Usar coordenadas baricéntricas como coordenadas euclídeas sin imponer la restricción de suma uno o aplicarlas fuera del espacio afín del simplejo (por ejemplo aplicar fórmulas de área con puntos no coplanares) produce conclusiones erróneas.

Consecuencia

Bien utilizadas, las coordenadas baricéntricas linealizan muchas construcciones geométricas: intersecciones de rectas, cevianas y ecuaciones de cónicas se convierten en relaciones lineales o racionales en los pesos, facilitando demostraciones y cálculos.

Inversión

En lugar de representar puntos por pesos en los vértices, se puede representarlos por coordenadas cartesianas absolutas; esa inversión pierde la invariancia afín intrínseca de las coordenadas baricéntricas.

Límite

Se aplica a los espacios afines de simplejos (segmentos, triángulos, tetraedros) y se extiende a áreas/volúmenes con signo; excluye variedades no afines y contextos con vértices indefinidos o degenerados (colinealidad o coplanaridad requieren argumentos por límite).

Tensión semántica

Las coordenadas baricéntricas compiten con coordenadas homogéneas y cartesianas: las homogéneas codifican comportamiento proyectivo, las cartesianas son globales; las baricéntricas son locales al simplejo y naturalmente afines pero no globales en dominios arbitrarios.

Síntesis

Las coordenadas baricéntricas son un sistema de pesos afines ligado a un simplejo: asignando a cada vértice un peso normalizado proporcional a áreas/volúmenes con signo se obtiene un sistema de coordenadas que convierte afirmaciones de incidencia y razón en relaciones de álgebra lineal, estable bajo afinidades.