Eine Koordinatendarstellung eines Punktes relativ zu den Eckpunkten eines Simplex (z. B. eines Dreiecks) mithilfe von Gewichten, die proportional zu orientierten Flächen oder Volumina sind; die Gewichte summieren zu eins und geben die affine Kombination der Eckpunkte an, die den Punkt ergibt.

Prinzip

Jeder Punkt im affinen Erzeugnis eines Simplex lässt sich (außer in degeneraten Fällen) eindeutig als gewichteter Durchschnitt der Eckpunkte mit Koeffizienten darstellen, die zu eins summieren; geometrische Beziehungen werden zu algebraischen Beziehungen zwischen diesen Gewichten.

Demonstration

Für einen Punkt P in der Ebene des Dreiecks ABC berechne die Skalare α, β, γ proportional zu den Flächen der Dreiecke PBC, PCA und PAB und normiere so, dass α+β+γ=1; dann gilt P = αA + βB + γC, die baryzentrischen Koordinaten sind (α,β,γ).

Fehlanwendung

Baryzentrische Koordinaten ohne die Summe-eins-Bedingung wie euklidische Koordinaten zu behandeln oder sie außerhalb des affinen Spans des Simplex zu verwenden (etwa Flächenformeln bei nicht-koplanaren Punkten anzuwenden) führt zu falschen Ergebnissen.

Konsequenz

Richtig angewandt linearisieren baryzentrische Koordinaten viele geometrische Konstruktionen: Schnittpunkte von Geraden, Cevians und Kegelschnittgleichungen werden zu linearen oder rationalen Beziehungen in den Gewichten, was Beweise und Berechnungen vereinfacht.

Umkehrung

Statt Punkte durch Gewichte an Eckpunkten darzustellen, könnte man Punkte durch absolute kartesische Koordinaten beschreiben; diese Umkehr verliert die affine Invarianz, die baryzentrische Koordinaten besitzen.

Abgrenzung

Gilt für die affinen Umgebungen von Simplexen (Strecken, Dreiecke, Tetraeder) und lässt sich auf orientierte Flächen/Volumina erweitern; ausgeschlossen sind nichtaffine Mannigfaltigkeiten und Situationen mit undefinierten oder degenerierten Eckpunkten (Kolinearität/Koplanarität erfordert Grenzwertbetrachtung).

Semantische Spannung

Baryzentrische Koordinaten stehen im Wettbewerb mit homogenen und kartesischen Koordinatensystemen: homogene Formen beschreiben projektive Eigenschaften, kartesische sind global; baryzentrisch sind lokal am Simplex sinnvoll und affine Invarianz treffend, aber nicht global anwendbar.

Synthese

Baryzentrische Koordinaten sind ein affines Gewichtssystem relativ zu einem Simplex: durch Normalisierung von orientierten Flächen- oder Volumenanteilen an den Ecken erhält man Koordinaten, die geometrische Verhältnis- und Inzidenzaussagen in lineare Algebra überführen.