Un théorème sur les cercles : un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés sont des cordes intercepte un arc dont la mesure est le double de celle de l'angle inscrit ; autrement dit, un angle inscrit vaut la moitié de l'angle central sous-tendant le même arc.

Principe

Correspondance angle–arc : les angles inscrits qui sous-tendent le même arc sont égaux, et tout angle inscrit mesure la moitié de l'arc intercepté (ou de l'angle central correspondant), reflétant la symétrie du cercle par rapport à son centre.

Démonstration

Sur un cercle de centre O, prendre A,B,C sur la circonférence avec sommet en B formant ∠ABC ; comparer ∠ABC à l'angle central ∠AOC sous-tendant l'arc AC : par les triangles isocèles OAB et OBC on obtient ∠ABC = 1/2 ∠AOC, donc la moitié de la mesure de l'arc.

Mauvaise application

Appliquer la règle de la demi-mesure à un angle dont le sommet n'est pas sur le cercle (par exemple un angle extérieur ou intérieur non inscrit) ou confondre arcs et mesures orientées entraîne des erreurs ; même remarque pour l'usage en contextes métriques non standard.

Conséquence

Permet de comparer rapidement des angles sous-tendant le même arc, de montrer l'égalité d'angles dans des quadrilatères cycliques, de relier angles tangente–corde et de ramener de nombreux problèmes angulaires circulaires à des calculs de mesure d'arc.

Inversion

Contraste avec les angles centraux : un angle central sous-tendant un arc mesure le double de tout angle inscrit qui sous-tend le même arc ; inverser la relation fait passer d'un sommet sur la circonférence au sommet au centre, changeant le lieu des sommets.

Limite

Valable en géométrie euclidienne circulaire et dans tout contexte où les mesures d'arc et d'angles inscrits/centraux sont définies ; il ne s'applique pas à des lieux courbes arbitraires ni lorsque les angles sont mesurés dans des métriques non euclidiennes sans réinterprétation.

Tension sémantique

Il est parfois confondu avec des théorèmes proches (p. ex. théorème tangente–corde) car les deux relient arcs et angles ; la tension se situe entre formulations sommet-sur-le-cercle et sommet-au-centre et entre arcs orientés et non orientés.

Synthèse

Le théorème de l'angle inscrit relie un angle sur la circonférence à l'arc qu'il intercepte : tout angle inscrit vaut la moitié de l'angle central (ou de la mesure de l'arc) correspondant, facilitant de nombreuses égalités angulaires dans les configurations cycliques.