Ein Kreis-Satz: Ein Winkel mit Scheitel auf dem Kreis und Schenkeln entlang zweier Sehnen schneidet einen Bogen ab, dessen Maß doppelt so groß ist wie das des eingeschriebenen Winkels; äquivalent ist: ein eingeschriebener Winkel ist halb so groß wie der zentrale Winkel, der denselben Bogen überspannt.

Prinzip

Winkel–Bogen-Korrespondenz: Eingeschriebene Winkel, die denselben Bogen überspannen, sind gleich, und jeder eingeschriebene Winkel misst die Hälfte des abgegrenzten Bogens (bzw. des entsprechenden Zentralwinkels), was die Symmetrie des Kreises um seinen Mittelpunkt widerspiegelt.

Demonstration

Auf einem Kreis mit Mittelpunkt O wähle A,B,C auf dem Umfang mit Scheitel in B, so dass ∠ABC entsteht; vergleiche ∠ABC mit dem Zentralwinkel ∠AOC, der den Bogen AC überspannt: aus den gleichschenkligen Dreiecken OAB und OBC folgt ∠ABC = 1/2 ∠AOC, also die halbe Bogengröße.

Fehlanwendung

Die Halb-Bogen-Regel auf einen Winkel anzuwenden, dessen Scheitel außerhalb des Kreises liegt (z. B. ein äußerer oder innerer, nicht eingeschriebener Winkel), oder Bögen falsch als orientiert anzunehmen, führt zu Fehlern; ebenso bei falscher Handhabung gerichteter Maße.

Konsequenz

Ermöglicht schnellen Vergleich von Winkeln, die denselben Bogen überspannen, beweist Winkelgleichheiten in zyklischen Vierecken, liefert Tangenten–Sehnen-Beziehungen und reduziert viele Kreisbogen-Winkel-Aufgaben auf Bogengrößen-Berechnungen.

Umkehrung

Im Gegensatz dazu: Zentralwinkel messen das Doppelte eines zugehörigen eingeschriebenen Winkels; die Umkehrung verlagert den Scheitel vom Umfang zum Mittelpunkt und ändert somit den Ort der Betrachtung.

Abgrenzung

Gilt in der euklidischen Kreisgeometrie und überall dort, wo Bogengrößen und eingeschriebene/zentralen Winkel sinnvoll definiert sind; sie gilt nicht für beliebige Kurven oder in nicht-euklidischen Metriken ohne passende Neuinterpretation.

Semantische Spannung

Wird leicht mit verwandten Sätzen (z. B. Tangenten–Sehnen-Satz) verwechselt, da beide Bögen und Winkel verbinden; die Spannung besteht zwischen dem Umfangsscheitel- und dem Mittelpunkt-Scheitel-Formalismus sowie gerichteten vs. ungerichteten Bogengrößen.

Synthese

Der Satz vom eingeschriebenen Winkel verknüpft einen am Umfang liegenden Winkel mit dem von ihm überspannten Bogen: Jeder eingeschriebene Winkel ist halb so groß wie der zugehörige Zentralwinkel, was zahlreiche Winkelgleichheiten in zyklischen Figuren ermöglicht.