Un teorema de círculos: un ángulo con vértice sobre una circunferencia y lados formados por dos cuerdas intercepta un arco cuya medida es el doble de la del ángulo inscrito; equivalentemente, un ángulo inscrito equivale a la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco.

Principio

Correspondencia ángulo–arco: los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales, y todo ángulo inscrito mide la mitad del arco interceptado (o del ángulo central correspondiente), reflejando la simetría del círculo respecto de su centro.

Demostración

En un círculo de centro O, tomar A,B,C en la circunferencia con vértice en B que forman ∠ABC; comparar ∠ABC con el ángulo central ∠AOC que subtiende el arco AC: por los triángulos isósceles OAB y OBC se obtiene ∠ABC = 1/2 ∠AOC, por tanto la mitad de la medida del arco.

Aplicación incorrecta

Aplicar la regla de la mitad del arco a un ángulo cuyo vértice no esté sobre la circunferencia (por ejemplo, un ángulo exterior o interior no inscrito) o confundir arcos con medidas orientadas puede llevar a errores; también hay que tener cuidado con contextos métricos no estándar.

Consecuencia

Permite comparar ángulos que subtienden el mismo arco, probar igualdades angulares en cuadriláteros cíclicos, relacionar ángulos tangente–cuerda y reducir muchos problemas de ángulos en círculos a cálculos de medidas de arco.

Inversión

Contraste con los ángulos centrales: un ángulo central que subtiende un arco mide el doble de cualquier ángulo inscrito que subtiende ese mismo arco; invertir la relación cambia el lugar del vértice del círculo al centro.

Límite

Válido en la geometría circular euclidiana y en cualquier contexto donde estén definidas las medidas de arco y los ángulos inscritos/centrales; no se aplica a trayectorias curvas arbitrarias ni cuando los ángulos se miden en métricas no euclidianas sin reinterpretación.

Tensión semántica

Se confunde a veces con teoremas afines (p. ej. teorema tangente–cuerda) ya que ambos relacionan arcos y ángulos; la tensión está entre formulaciones con vértice en la circunferencia o en el centro y entre arcos dirigidos y no dirigidos.

Síntesis

El teorema del ángulo inscrito vincula un ángulo sobre la circunferencia con el arco que intercepta: cualquier ángulo inscrito vale la mitad del ángulo central (o de la medida del arco) correspondiente, facilitando muchas igualdades angulares en configuraciones cíclicas.