La quantité numérique associée à un cercle (ou une conique) et à un point P : la puissance de P par rapport au cercle de centre O et de rayon r vaut PO^2−r^2 et égale le produit des distances orientées de P aux deux points d'intersection de toute droite passant par P avec le cercle.

Principe

Incin dence métrique : pour toute droite passant par P qui coupe le cercle en X et Y, le produit orienté PX·PY est constant et vaut l'expression algébrique PO^2−r^2 ; cela caractérise la position de P par rapport au cercle (à l'intérieur, sur, à l'extérieur).

Démonstration

Pour un cercle (O,r) et un point P extérieur, tracer une sécante par P rencontrant le cercle en X et Y ; calculer PX·PY et vérifier l'égalité avec PO^2−r^2. Si P est sur le cercle la puissance est nulle ; si P est à l'intérieur, on emploie des segments orientés et la puissance est négative suivant les conventions.

Mauvaise application

Utiliser des longueurs non orientées sans tenir compte du signe ou appliquer la formule à des courbes non coniques où la propriété produit-de-segments n'est pas valide ; traiter incorrectement les multiplicités d'intersection en cas de tangence conduit à des erreurs.

Conséquence

Fournit un invariant algébrique unifiant pour de nombreuses configurations circulaires : détecte la tangence (puissance nulle), donne des relations de cordes, sert aux constructions d'axe radical et à l'étude de systèmes coaxiaux, et réduit certains problèmes de lieu à des équations algébriques simples.

Inversion

Vue inverse : considérer les points de puissance égale par rapport à deux cercles conduit à une droite (l'axe radical). On inverse ainsi une quantité centrée sur le point en un lieu linéaire d'égalité de puissances.

Limite

S'applique aux cercles (et, par extension soigneuse, aux coniques selon les interprétations métriques ou projectives), mais pas aux courbes arbitraires ; requiert une notion bien posée de distances orientées ou un plongement algébrique pour interpréter PO^2−r^2 sur le corps de base.

Tension sémantique

On confond souvent la puissance avec un simple énoncé de distance euclidienne ; la tension tient à la différence entre la voir comme un carré de distance métrique et comme un invariant algébrique utile en inversion ou en géométrie projective.

Synthèse

La puissance d'un point est le produit orienté constant des segments joignant le point aux intersections d'une droite quelconque avec le cercle, égal à PO^2−r^2 et central pour les arguments sur l'axe radical et la tangence.