Una relación asociada a un círculo (o cónica) y a un punto P: la potencia de P respecto al círculo de centro O y radio r es PO^2−r^2 y equivale al producto de distancias con signo desde P hasta los dos puntos de intersección de cualquier recta que pase por P con el círculo.

Principio

Incidencia métrica: para cualquier recta por P que corte el círculo en X e Y, el producto dirigido PX·PY es constante y equivale a PO^2−r^2; ello caracteriza la posición de P respecto al círculo (interior, sobre, exterior).

Demostración

Dado el círculo (O,r) y un punto P exterior, trazar una secante por P que corte el círculo en X e Y; calcular PX·PY y comprobar que coincide con PO^2−r^2. Si P está sobre el círculo, la potencia es cero; si está dentro se usan segmentos con signo y la potencia puede ser negativa según la convención.

Aplicación incorrecta

Usar longitudes sin signo sin respetar la orientación o aplicar la fórmula a curvas no cónicas donde no se cumple la propiedad producto-de-segmentos conduce a errores; manejar mal la multiplicidad de intersección en un caso de tangencia produce resultados incorrectos.

Consecuencia

Proporciona un invariante algebraico unificador para muchas configuraciones con círculos: detecta tangencias (potencia cero), da relaciones de cuerdas, sirve para construcciones del eje radical y sistemas coaxiales, y reduce ciertos problemas de lugar a ecuaciones algebraicas sencillas.

Inversión

Perspectiva inversa: considerar la igualdad de potencias respecto a dos círculos localiza una recta (su eje radical). Esto invierte un invariante centrado en un punto en un lugar lineal de igualdad de potencias.

Límite

Se aplica a círculos (y, con interpretación adecuada, a cónicas) pero no a curvas arbitrarias; requiere una noción bien definida de distancias dirigidas o un anclaje algebraico para interpretar PO^2−r^2 sobre el cuerpo base.

Tensión semántica

A menudo se confunde con enunciados puramente euclidianos de distancia; la tensión radica en ver la potencia como un cuadrado de distancia métrica o como un invariante algebraico útil en inversiones y geometría proyectiva.

Síntesis

La potencia de un punto es el producto dirigido constante de los segmentos desde el punto a las intersecciones de cualquier recta con el círculo, igual a PO^2−r^2 y central en argumentos sobre ejes radicales y tangencias.