Eine mit einem Kreis (oder einer Kegelschnittkurve) und einem Punkt P verbundene Größe: Die Potenz eines Punktes P bezüglich eines Kreises mit Mittelpunkt O und Radius r ist PO^2−r^2 und entspricht dem Produkt der orientierten Abstände von P zu den beiden Schnittpunkten jeder durch P verlaufenden Geraden mit dem Kreis.

Prinzip

Metrische Inzidenz: Für jede durch P verlaufende Gerade, die den Kreis in X und Y schneidet, ist das gerichtete Produkt PX·PY konstant und gleich PO^2−r^2; damit wird die Lage von P relativ zum Kreis (innen, auf, außen) charakterisiert.

Demonstration

Gegeben Kreis (O,r) und ein Punkt P außerhalb, ziehe eine Sekante durch P, die den Kreis in X und Y schneidet; berechne PX·PY und zeige die Gleichheit mit PO^2−r^2. Ist P auf dem Kreis, ist die Potenz null; bei innerer Lage verwendet man gerichtete Strecken, die Potenz kann negativ werden.

Fehlanwendung

Ungeeignete Verwendung ungerichteter Längen ohne Beachtung des Vorzeichens oder Anwendung der Formel auf nicht-konische Kurven, für die die Produkt-der-Segmente-Eigenschaft nicht gilt, führt zu falschen Ergebnissen; Tangentialfälle erfordern korrekte Behandlung der Schnittmultiplikitäten.

Konsequenz

Gibt ein vereinheitlichendes algebraisches Invariant für viele Kreis-Konfigurationen: erkennt Tangenten (Potenz null), liefert Sehnenbeziehungen, unterstützt Konstruktionen der Radikalachse und coaxialer Systeme und reduziert Ortsprobleme auf einfache algebraische Gleichungen.

Umkehrung

Umkehrung: Betrachtet man statt der Potenz eines Punktes die Gleichheit der Potenzen zweier Kreise, so erhält man eine Gerade (die Radikalachse). Damit verwandelt sich eine punktbezogene Größe in einen linearen Ort der Gleichheit von Potenzen.

Abgrenzung

Gilt für Kreise (und unter geeigneter Interpretation für Kegelschnitte) und nicht für beliebige Kurven; es ist eine wohldefinierte Vorstellung gerichteter Abstände oder ein algebraisches Einbettungsfeld erforderlich, um PO^2−r^2 über dem Grundkörper zu interpretieren.

Semantische Spannung

Wird oft mit rein euklidischen Distanzaussagen verwechselt; die Spannung besteht darin, die Potenz als quadratische Distanzmetrik oder als algebraisches Invariant im Rahmen von Inversionen und projektiver Geometrie zu sehen.

Synthese

Die Potenz eines Punktes ist das konstante gerichtete Produkt der Strecken von diesem Punkt zu den Schnittpunkten einer beliebigen Geraden mit dem Kreis, gleich PO^2−r^2 und zentral für Radikalachsen- und Tangentenargumente.