Un critère de colinéarité de trois points où une transversale rencontre les côtés (ou leurs prolongements) d'un triangle : pour D sur BC, E sur CA, F sur AB situés sur une même droite, le produit orienté (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB) = −1. Il détermine quand une droite rencontre les trois côtés (éventuellement prolongés) en points donnés.

Principe

Une incidence linéaire unique (une transversale) impose un équilibre multiplicatif sensible au signe parmi les rapports sur les côtés du triangle ; la colinéarité se traduit par une contrainte de produit sur des segments orientés.

Démonstration

Étant donné le triangle ABC et une droite qui coupe BC en D, CA en E et AB en F, calculer les rapports orientés BD/DC, CE/EA, AF/FB ; vérifier que leur produit vaut −1. Par exemple, choisir une droite coupant un côté et les prolongements des deux autres et contrôler que le produit signé vaut −1 pour confirmer la colinéarité.

Mauvaise application

Ignorer la convention de signes lorsque les intersections se trouvent sur les prolongements des côtés, ou appliquer le théorème à trois points arbitraires qui ne sont pas intersections d'une même droite, conduit à des erreurs. Confondre Ménélaos et Céva (concourance vs colinéarité) est une erreur courante.

Conséquence

Fournit un test algébrique pratique de colinéarité des points d'intersection avec une transversale et sert de base aux arguments de dualité projective ; il s'emploie dans des démonstrations coordonnées et pour déterminer des points d'intersection inconnus dans des constructions triangulaires.

Inversion

Dual de Céva : en échangeant les rôles des points et des droites on passe d'une condition de concourance (produit = 1) à une condition de colinéarité (produit = −1) ; l'inversion d'incidence transforme le signe et le sens géométrique.

Limite

S'applique en géométrie euclidienne et projective lorsque les rapports de segments orientés sont définis ; exige des points d'intersection distincts et des dénominateurs non nuls. Il ne s'applique pas à des triplets de points arbitraires non reliés par une même droite ni dans des géométries sans convention cohérente de signe pour les segments.

Tension sémantique

La condition de Ménélaos peut être confondue avec celle de Céva car les deux utilisent des rapports multiplicatifs ; la tension porte sur la distinction colinéarité (Ménélaos, produit = −1) versus concourance (Céva, produit = 1) et sur l'interprétation signée ou non des rapports.

Synthèse

Le théorème de Ménélaos exprime la colinéarité de trois points d'intersection d'une transversale avec un triangle par une égalité multiplicative signée des rapports de côté, constituant un outil algébrique robuste pour vérifier des incidences et résoudre des constructions.