Un criterio de colinealidad de tres puntos donde una transversal corta los lados (o sus extensiones) de un triángulo: para D en BC, E en CA, F en AB situados en una misma recta, se cumple el producto dirigido (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB) = −1. Define cuándo una recta interseca los tres lados (posiblemente extendidos) en puntos dados.

Principio

Una sola incidencia lineal (una transversal) impone un equilibrio multiplicativo sensible al signo entre razones en los lados del triángulo; la colinealidad se traduce en una restricción de producto sobre segmentos dirigidos.

Demostración

Dado el triángulo ABC y una recta que corta BC en D, CA en E y AB en F, calcula las razones dirigidas BD/DC, CE/EA, AF/FB; verifica que su producto sea −1. Por ejemplo, toma una recta que atraviese un lado y las extensiones de los otros dos y comprueba que el producto firmado es −1 para confirmar la colinealidad.

Aplicación incorrecta

Ignorar la convención de signos cuando las intersecciones están en las extensiones de los lados, o aplicar el teorema a tres puntos arbitrarios que no son intersecciones con una misma recta, conduce a errores. Confundir Menelao con Ceva (colinealidad contra concurrencia) es un uso indebido habitual.

Consecuencia

Proporciona una prueba algebraica práctica de colinealidad de puntos de intersección con una transversal y sustenta argumentos de dualidad proyectiva; se usa en demostraciones mediante coordenadas y para resolver intersecciones desconocidas en construcciones triangulares.

Inversión

Dual de Ceva: intercambiando los papeles de puntos y rectas se pasa de una condición de concurrencia (producto = 1) a una condición de colinealidad (producto = −1); invertir la incidencia transforma el signo y el significado geométrico.

Límite

Se aplica en planos euclidianos y proyectivos cuando las razones de segmentos dirigidos están definidas; requiere puntos de intersección distintos y denominadores no nulos. No es aplicable a tripletas arbitrarias de puntos no unidas por una misma recta ni en geometrías sin noción coherente de signo para segmentos.

Tensión semántica

La condición de Menelao se confunde con facilidad con la de Ceva porque ambas usan razones multiplicativas; la tensión está en distinguir colinealidad (Menelao, producto = −1) frente a concurrencia (Ceva, producto = 1) y en la interpretación firmada o no de las razones.

Síntesis

El Teorema de Menelao expresa la colinealidad de tres puntos de intersección de una transversal con un triángulo mediante una igualdad multiplicativa firmada de razones de lado, proporcionando una herramienta algebraica fiable para comprobaciones de incidencia y construcciones.