Ein Kriterium für die Kollinearität von drei Punkten, an denen eine Transversale die Seiten (oder deren Verlängerungen) eines Dreiecks schneidet: Für D auf BC, E auf CA, F auf AB, die auf einer Geraden liegen, gilt das gerichtete Produkt (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB) = −1. Es beschreibt, wann eine Gerade die drei (gegebenen) Seiten eines Dreiecks schneidet.

Prinzip

Eine einzelne lineare Inzidenz (Transversale) erzwingt einen multiplikativen, vorzeichenempfindlichen Ausgleich der Verhältnisse an den Dreiecksseiten; Kollinearität wird so zur Produktbedingung gerichteter Strecken.

Demonstration

Gegeben Dreieck ABC und eine Gerade, die BC in D, CA in E und AB in F schneidet: Berechne die gerichteten Verhältnisse BD/DC, CE/EA, AF/FB; überprüfe, dass ihr Produkt −1 ist. Wähle etwa eine Gerade, die einen Seitenabschnitt und die Verlängerungen der anderen beiden Seiten schneidet, und kontrolliere das Vorzeichen des Produkts.

Fehlanwendung

Das Ignorieren der Vorzeichenkonvention, wenn Schnitte auf Verlängerungen liegen, oder die Anwendung des Satzes auf drei beliebige Punkte ohne gemeinsame Gerade führt zu falschen Schlüssen. Eine häufige Verwechslung ist die von Menelaos und Ceva (Kollinearität vs. Konkurrenz).

Konsequenz

Gibt einen praktischen algebraischen Test für Kollinearität von Schnittpunkten einer Transversalen und ist Grundlage projektiver Dualitätsargumente; sie wird in Koordinatenbeweisen und zur Bestimmung unbekannter Schnittpunkte verwendet.

Umkehrung

Dual zu Ceva: Durch Vertauschung der Rollen von Punkten und Geraden wechselt man von einer Konkurrenzbedingung (Produkt = 1) zu einer Kollinearitätsbedingung (Produkt = −1); die Umkehr der Inzidenz ändert Vorzeichen und geometrische Bedeutung.

Abgrenzung

Gilt in euklidischer und projektiver Ebene, sofern gerichtete Streckenverhältnisse definiert sind; verlangt verschiedene Schnittpunkte und nicht‑null Nenner. Nicht anwendbar auf beliebige Punkttripel, die nicht durch eine Gerade verbunden sind, oder in Geometrien ohne konsistente Vorzeichenkonvention.

Semantische Spannung

Menelaos' Bedingung wird leicht mit Cevas verwechselt, weil beide multiplikative Verhältnisse verwenden; die Spannung besteht in der Unterscheidung Kollinearität (Menelaos, Produkt = −1) versus Konkurrenz (Ceva, Produkt = 1) und in der Frage, ob Verhältnisse signiert auszulegen sind.

Synthese

Menelaos' Satz drückt die Kollinearität dreier Schnittpunkte einer Transversale mit einem Dreieck als vorzeichenbehaftete multiplikative Gleichung der Seitenverhältnisse aus und bietet ein zuverlässiges algebraisches Instrument zur Inzidenzprüfung und Konstruktion.