Une condition pour que trois céviennes d'un triangle (segments joignant chaque sommet à un point sur le côté opposé) soient concourantes : pour D sur BC, E sur CA, F sur AB, AD, BE, CF sont concourantes si et seulement si (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1, en interprétant les rapports comme orientés si nécessaire.

Principe

La concourance des droites issues des sommets est équivalente à un équilibre multiplicatif des rapports de segments orientés sur les trois côtés ; des rapports locaux codent une condition d'incidence globale.

Démonstration

Dans le triangle ABC choisir D sur BC, E sur CA, F sur AB. Calculer les rapports orientés BD/DC, CE/EA, AF/FB ; si leur produit vaut 1, tracer AD, BE, CF et vérifier qu'ils se rencontrent en un point commun (ou, inversement, déduire que le produit vaut 1 d'une concourance connue). Par exemple, construire un triangle, choisir D et E pour que AD et BE se croisent en P, intersecter CP avec AB en F et contrôler que le produit vaut 1.

Mauvaise application

Appliquer la formule de Céva à des points qui ne sont pas sur les côtés ou à des transversales quelconques (et non des céviennes), ou ignorer la convention de signes quand des points se situent sur les prolongements des côtés, aboutit à de mauvaises conclusions sur la concourance.

Conséquence

Fournit un test algébrique de concourance et un outil constructif : données deux céviennes se coupant en P, on peut calculer où la troisième doit rencontrer le côté opposé. Elle alimente les méthodes de barycentrie et de mass points pour calculer des rapports et construire des centres de triangle.

Inversion

L'énoncé dual est le théorème de Ménélaos : au lieu de la concourance des céviennes on étudie la colinéarité de trois points d'intersection d'une transversale, avec un produit signé égal à −1 ; Céva et Ménélaos inversent les rôles d'incidence entre points et droites.

Limite

Valable en géométrie plane euclidienne et dans des cadres projectifs munis de rapports orientés ; exige des longueurs de segments non nulles et des points d'intersection distincts. Il ne s'applique pas directement en cas dégénéré où des sommets ou points coïncident, ni dans des géométries dépourvues de rapport orienté.

Tension sémantique

Tension avec le théorème de Ménélaos et avec les heuristiques de points masses : le critère multiplicatif de Céva est algébrique et local, tandis que la méthode des masses donne une intuition additive ; les deux décrivent la concourance mais selon des perspectives différentes.

Synthèse

Le théorème de Céva caractérise la concourance des trois céviennes d'un triangle par une égalité multiplicative de rapports de côté (orientés), constituant un test algébrique précis et un pont constructif entre données locales et incidence globale.