Ein Kriterium dafür, dass drei Cevianen eines Dreiecks (Strecken, die jeden Eckpunkt mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbinden) sich in einem Punkt schneiden: Für D auf BC, E auf CA, F auf AB sind AD, BE, CF genau dann konkurrent, wenn (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1, wobei Verhältnisse bei Bedarf als gerichtete Strecken zu interpretieren sind.

Prinzip

Die Konkurrenz von Linien aus den Ecken zu den gegenüberliegenden Seiten ist äquivalent zu einem multiplikativen Ausgleich gerichteter Streckenverhältnisse an den drei Seiten; lokale Verhältnisse kodieren eine globale Inzidenzbedingung.

Demonstration

In Dreieck ABC wähle D auf BC, E auf CA, F auf AB. Berechne die gerichteten Verhältnisse BD/DC, CE/EA, AF/FB; ist ihr Produkt 1, so schneiden sich AD, BE, CF in einem Punkt (oder umgekehrt lässt sich bei bekannter Konkurrenz das Produkt bestimmen). Konstruiere beispielsweise ein Dreieck, wähle D und E so, dass AD und BE in P schneiden, schneide CP mit AB in F und prüfe das Produkt.

Fehlanwendung

Anwenden von Cevas Formel auf Punkte, die nicht auf den Seiten liegen, oder auf Linien, die nicht von den Eckpunkten ausgehen, sowie das Ignorieren der Vorzeichenkonvention bei Punkten auf Verlängerungen der Seiten führt zu falschen Aussagen über Konkurrenz.

Konsequenz

Bietet einen algebraischen Test für Konkurrenz und ein konstruktives Werkzeug: Sind zwei Cevianen gegeben, lässt sich berechnen, wo die dritte den gegenüberliegenden Seite treffen muss. Daraus folgen baryzentrische und massenpunktartige Techniken zur Verhältnisberechnung und Konstruktion von Dreieckszentren.

Umkehrung

Die duale Aussage ist Menelaos' Theorem: statt der Konkurrenz von Cevianen betrachtet man die Kollinearität dreier Schnittpunkte einer Transversalen mit einem Produkt gleichem −1; Ceva und Menelaos vertauschen die Rollen von Punkten und Geraden in der Inzidenz.

Abgrenzung

Gilt in der euklidischen Ebenengeometrie und in projektiven Kontexten mit gerichteten Verhältnissen; benötigt nicht‑null Segmentlängen und verschiedene Schnittpunkte. Bei entarteten Konfigurationen (gleichfallende Punkte) oder in Geometrien ohne orientierte Verhältnisse ist die Anwendung ausgeschlossen.

Semantische Spannung

Spannung mit Menelaos und mit massenpunktbasierten Heuristiken: Cevas multiplikatives Kriterium ist lokal‑algebraisch, während Massenpunkte eine additive Intuition zur Verfügung stellen; beide führen zur Beschreibung von Konkurrenz aus unterschiedlichen Blickwinkeln.

Synthese

Der Satz von Ceva charakterisiert die Konkurrenz dreier Cevianen in einem Dreieck durch eine multiplikative Gleichheit gerichteter Seitenverhältnisse und stellt damit einen präzisen algebraischen Test und konstruktiven Zusammenhang zwischen lokalen Längenverhältnissen und globaler Inzidenz dar.