Un criterio para que tres cevianas de un triángulo (segmentos que unen cada vértice con un punto en el lado opuesto) sean concurrentes: para D en BC, E en CA, F en AB, las cevianas AD, BE, CF son concurrentes si y sólo si (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1, interpretando los cocientes con segmentos dirigidos cuando proceda.

Principio

La concurrencia de rectas desde los vértices hacia los lados opuestos equivale a un equilibrio multiplicativo de cocientes de segmentos dirigidos en los tres lados; relaciones locales codifican una condición de incidencia global.

Demostración

En el triángulo ABC elige D en BC, E en CA, F en AB. Calcula los cocientes dirigidos BD/DC, CE/EA, AF/FB; si su producto es 1, traza AD, BE, CF y verifica que concurren en un punto común (o, al contrario, deduce el producto de una concurrencia conocida). Por ejemplo, construye un triángulo, elige D y E para que AD y BE se corten en P; corta CP con AB en F y comprueba el producto.

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula de Ceva a puntos que no están sobre los lados, a transversales arbitrarias en lugar de cevianas, o ignorar la convención de signos cuando los puntos están en las extensiones de lados, lleva a conclusiones erróneas sobre concurrencia.

Consecuencia

Proporciona una prueba algebraica de concurrencia y una herramienta constructiva: dadas dos cevianas que se cortan en P, puede calcularse dónde debe incidir la tercera. Facilita técnicas de coordenadas baricéntricas y puntos‑masa para cálculos de razones y construcciones de centros del triángulo.

Inversión

La declaración dual es el Teorema de Menelao: en lugar de la concurrencia de cevianas se estudia la colinealidad de tres puntos de intersección de una transversal, con un producto firmado igual a −1; Ceva y Menelao invierten los papeles de puntos y rectas.

Límite

Válido en geometría euclidiana plana y en contextos proyectivos con cocientes dirigidos; exige longitudes de segmento no nulas y puntos de intersección distintos. No es aplicable en configuraciones degeneradas ni en geometrías sin noción de razón dirigida.

Tensión semántica

Tensión con Menelao y con heurísticas de puntos masa: el criterio multiplicativo de Ceva es algebraico y local, mientras que los puntos masa ofrecen una intuición aditiva; ambos describen concurrencia desde perspectivas distintas.

Síntesis

El Teorema de Ceva caracteriza la concurrencia de tres cevianas mediante una igualdad multiplicativa de razones de lado (dirigidas), sirviendo como prueba algebraica precisa y puente constructivo entre datos locales y una incidencia global.