Pour tout triangle de côtés a, b, c et d'angles opposés α, β, γ respectivement, la loi des cosinus relie un côté aux deux autres et au cosinus de l'angle inclus : c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(γ).

Principe

Elle généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles en introduisant un terme correctif −2ab cos(γ) qui tient compte de l'angle entre les côtés ; elle encode la relation du produit scalaire pour des vecteurs représentant les côtés.

Démonstration

Pour un triangle avec a = 7, b = 5 et angle inclus γ = 60°, on calcule c^2 = 7^2 + 5^2 − 2·7·5·cos60° = 49 + 25 − 70·(1/2) = 74 − 35 = 39, d'où c = √39.

Mauvaise application

Utiliser la formule avec l'angle inclus erroné (par exemple un angle extérieur) ou se tromper de signe devant le cosinus, ou l'appliquer telle quelle en géométrie sphérique ou hyperbolique où les lois des cosinus diffèrent.

Conséquence

Elle permet de résoudre n'importe quel triangle à partir de deux côtés et de l'angle compris (CAS), de classifier les triangles en comparant c^2 à a^2 + b^2, et de déduire des relations de longueurs vectorielles via le produit scalaire.

Inversion

Lorsque γ = 90° on a cos(γ) = 0 et la loi se réduit au théorème de Pythagore. Si γ > 90° alors cos(γ) < 0 et c^2 > a^2 + b^2, ce qui traduit la géométrie obtuse.

Limite

Valable en géométrie euclidienne pour les triangles plans ; sur des surfaces courbes il faut utiliser les lois des cosinus sphériques ou hyperboliques correspondantes. Elle suppose la notion euclidienne habituelle d'angle et de longueur.

Tension sémantique

Elle est reliée à l'expression vectorielle du produit scalaire r·s = |r||s|cosθ ; la tension apparaît lorsqu'on choisit entre méthodes vectorielles/coordonnées et usages synthétiques classiques, bien qu'elles soient compatibles en espace euclidien.

Synthèse

La loi des cosinus est l'identité euclidienne qui étend la relation pythagoricienne aux triangles quelconques en incorporant le cosinus de l'angle inclus ; elle unifie calculs côté‑angle‑côté et relations de longueurs vectorielles.