Para cualquier triángulo con longitudes de lados a, b, c y ángulos opuestos α, β, γ respectivamente, la ley de los cosenos relaciona un lado con los otros dos y el coseno del ángulo incluido: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(γ).

Principio

Generaliza el teorema de Pitágoras a triángulos no rectos mediante un término corrector −2ab cos(γ) que tiene en cuenta el ángulo entre los lados; codifica la relación del producto escalar de vectores que representan los lados.

Demostración

Dado un triángulo con a = 7, b = 5 y ángulo incluido γ = 60°, se calcula c^2 = 7^2 + 5^2 − 2·7·5·cos60° = 49 + 25 − 70·(1/2) = 39, por lo que c = √39.

Aplicación incorrecta

Usar la fórmula con el ángulo incluido equivocado (por ejemplo un ángulo exterior) o cometer errores de signo en el término coseno, o aplicarla tal cual en geometría esférica u hiperbólica donde las leyes del coseno son diferentes.

Consecuencia

Permite resolver cualquier triángulo a partir de dos lados y el ángulo incluido (LAL/SAS), clasificar triángulos comparando c^2 con a^2 + b^2 y derivar relaciones de longitudes vectoriales mediante productos escalares.

Inversión

Cuando γ = 90° cos(γ) = 0 y la ley se reduce al teorema de Pitágoras. Si γ > 90° entonces cos(γ) < 0 y c^2 > a^2 + b^2, lo que refleja geometría obtusa.

Límite

Válida en geometría euclidiana para triángulos planos; en superficies curvas deben utilizarse las leyes del coseno esféricas o hiperbólicas correspondientes. Presupone la noción euclidiana estándar de ángulo y longitud.

Tensión semántica

Se relaciona con la formulación vectorial del producto escalar r·s = |r||s|cosθ; la tensión surge al elegir entre métodos vectoriales/coordínales y usos sintéticos clásicos, aunque son consistentes en el espacio euclidiano.

Síntesis

La ley de los cosenos es la identidad euclidiana que extiende la relación pitagórica a triángulos arbitrarios incorporando el coseno del ángulo incluido; unifica los cálculos lado‑ángulo‑lado y las relaciones de longitud vectorial.