Für jedes Dreieck mit Seitenlängen a, b, c und gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ stellt der Kosinussatz die Beziehung her: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(γ).

Prinzip

Er verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf nicht‑rechtwinklige Dreiecke durch den Korrekturterm −2ab cos(γ), der den Winkel zwischen den Seiten berücksichtigt; er kodiert die Skalarproduktbeziehung von Seitenvektoren.

Demonstration

Für ein Dreieck mit a = 7, b = 5 und eingeschlossenem Winkel γ = 60° berechnet man c^2 = 7^2 + 5^2 − 2·7·5·cos60° = 49 + 25 − 70·(1/2) = 39, also c = √39.

Fehlanwendung

Die Formel mit dem falschen eingeschlossenen Winkel anwenden (z. B. mit einem Außenwinkel) oder Vorzeichenfehler beim Kosinus machen, oder sie unverändert in sphärischer oder hyperbolischer Geometrie verwenden, wo andere Kosinussätze gelten.

Konsequenz

Sie erlaubt, jedes Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SSW/SAS) zu berechnen, Dreiecke durch Vergleich von c^2 mit a^2 + b^2 zu klassifizieren und Längenrelationen mittels Skalarprodukt abzuleiten.

Umkehrung

Für γ = 90° gilt cos(γ) = 0 und der Kosinussatz reduziert sich auf den Satz des Pythagoras. Ist γ > 90°, so ist cos(γ) < 0 und c^2 > a^2 + b^2, was die stumpfe Geometrie widerspiegelt.

Abgrenzung

Gilt in der euklidischen Geometrie für ebene Dreiecke; auf gekrümmten Flächen sind die entsprechenden sphärischen oder hyperbolischen Kosinussätze zu verwenden. Er setzt die euklidische Auffassung von Winkel und Seitenlänge voraus.

Semantische Spannung

Er steht in Beziehung zur Vektordarstellung des Skalarprodukts r·s = |r||s|cosθ; Spannung entsteht bei der Wahl zwischen koordinaten‑/vektorbasierten Methoden und klassisch‑synthetischer Behandlung, obwohl beide im euklidischen Raum konsistent sind.

Synthese

Das Kosinusgesetz ist die euklidische Identität, die die pythagoreische Beziehung auf beliebige Dreiecke ausdehnt, indem sie den Kosinus des eingeschlossenen Winkels einbezieht; es vereinigt Seiten‑Winkel‑Seiten‑Berechnungen und Vektorlängenrelationen.