Le rayon du cercle ou de la sphère circonscrite qui passe par tous les sommets d'un polygone ou d'un polyèdre ; lorsqu'il existe un centre circonscrit unique, le rayon circonscrit est la distance de ce centre à n'importe quel sommet.

Principe

Le rayon circonscrit dépend de la concourance des médiatrices (existence du centre circonscrit) et mesure l'échelle d'une configuration cyclique ; pour un triangle il se relie algébriquement aux longueurs des côtés et à l'aire.

Démonstration

Un triangle de côtés a,b,c a pour rayon circonscrit R = abc/(4Δ) où Δ est l'aire du triangle ; un polygone régulier à n côtés et côte s a un rayon circonscrit déterminé par s et l'angle central.

Mauvaise application

Supposer que tout polygone ou polyèdre possède un rayon circonscrit ; de nombreux polygones ne sont pas cycliques et de nombreux polyèdres n'admettent pas de sphère passant par tous les sommets. Confondre rayon circonscrit et rayon minimal d'une boule englobante.

Conséquence

Quand il existe, le rayon circonscrit fixe les angles centraux, les longueurs de cordes et s'utilise en constructions, triangulations (Delaunay) et pour déduire des relations métriques entre sommets.

Inversion

La notion duale est le rayon inscrit (inradius) mesuré depuis l'incentre vers les côtés tangents ; remplacer 'passe par les sommets' par 'est tangent aux arêtes' échange rayon circonscrit et rayon inscrit.

Limite

Défini seulement pour polygones cycliques et polyèdres dont les sommets sont concycliques ; pour des ensembles de points arbitraires on considère plutôt le rayon minimal d'enveloppement (rayon de couverture), qui n'est pas nécessairement réalisé par un seul centre équidistant à tous les points.

Tension sémantique

Tension entre existence et optimalité : le rayon circonscrit exige une concyclicité exacte tandis que le rayon minimal d'enveloppement donne une couverture optimale même en l'absence d'un véritable cercle circonscrit ; les deux coïncident seulement dans des cas particuliers.

Synthèse

Le rayon circonscrit est la distance du centre au sommet d'un cercle ou d'une sphère circonscrite lorsque celle‑ci existe ; il quantifie l'échelle d'une configuration cyclique et soutient de nombreuses relations métriques en géométrie polygonale et polyédrique.