El radio de la circunferencia o esfera circunscrita que pasa por todos los vértices de un polígono o poliedro; cuando existe un circuncentro único, el radio circunscrito es la distancia desde ese centro a cualquier vértice.

Principio

El radio circunscrito depende de la concurrencia de las mediatrices (existencia del circuncentro) y capta la escala de una configuración cíclica; en triángulos se relaciona algebraicamente con las longitudes de los lados y el área.

Demostración

Un triángulo con lados a,b,c tiene radio circunscrito R = abc/(4Δ) donde Δ es el área del triángulo; un n‑gono regular con lado s tiene un radio circunscrito determinado por s y el ángulo central.

Aplicación incorrecta

Suponer que todo polígono o poliedro tiene radio circunscrito; muchos polígonos no son cíclicos y muchos poliedros no admiten esfera que pase por todos los vértices. Confundir radio circunscrito con el radio de la bola mínima que envuelve al conjunto.

Consecuencia

Cuando existe, el radio circunscrito fija ángulos centrales y longitudes de cuerdas y se emplea en construcciones, triangulaciones (Delaunay) y en derivar relaciones métricas entre vértices.

Inversión

La noción dual es el inradio (radio inscrito) medido desde el incentro hasta los lados tangentes; reemplazar 'pasa por los vértices' por 'es tangente a las aristas' intercambia radio circunscrito por inradio.

Límite

Definido solo para polígonos cíclicos y poliedros cuyos vértices son concíclicos; para conjuntos de puntos arbitrarios se considera el radio mínimo de envoltura (radio de cobertura), que no tiene por qué ser realizado por un único centro equidistante a todos los puntos.

Tensión semántica

Tensión entre existencia y optimalidad: el radio circunscrito exige conciclicidad exacta, mientras que el radio mínimo de envoltura ofrece una cobertura óptima aun cuando no exista una circunferencia real; ambos coinciden solo en casos especiales.

Síntesis

El radio circunscrito es la distancia centro‑a‑vértice de una circunferencia o esfera circunscrita cuando tal circunscripción existe; cuantifica la escala de una configuración cíclica y sustenta muchas relaciones métricas en geometría poligonal y poliedral.