Der Radius des umschreibenden Kreises oder der umschreibenden Kugel, die durch alle Eckpunkte eines Polygons oder Polyeders verläuft; falls ein eindeutiger Umkreiszentrum existiert, ist der Umkreisradius der Abstand dieses Zentrums zu einem beliebigen Eckpunkt.

Prinzip

Der Umkreisradius hängt von der Konkurrenz der Mittelsenkrechten (Existenz des Umkreiszentrums) ab und erfasst die Skala einer zyklischen Konfiguration; bei Dreiecken steht er in algebraischer Beziehung zu Seitenlängen und Fläche.

Demonstration

Ein Dreieck mit Seiten a,b,c hat Umkreisradius R = abc/(4Δ), wobei Δ die Dreiecksfläche ist; ein regelmäßiges n‑Eck mit Seitenlänge s hat einen Umkreisradius, der durch s und den Zentriwinkel bestimmt wird.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jedes Polygon oder Polyeder habe einen Umkreisradius; viele Polygone sind nicht zyklisch und viele Polyeder besitzen keine Kugel durch alle Eckpunkte. Den Umkreisradius mit dem minimalen Einhüllradius zu verwechseln ist ein häufiger Fehler.

Konsequenz

Wenn er existiert, legt der Umkreisradius Zentriwinkel und Sehnenlängen fest und wird in Konstruktionen, Triangulierungen (Delaunay) und zur Ableitung metrischer Beziehungen zwischen Eckpunkten verwendet.

Umkehrung

Die duale Größe ist der Inkreisradius, gemessen vom Inzentrum zu den tangierenden Seiten; ersetzt man ‚verläuft durch die Eckpunkte‘ durch ‚berührt die Kanten‘, vertauschen sich Umkreis‑ und Inkreisradius.

Abgrenzung

Definiert nur für zyklische Polygone und polyedrische Konstellationen mit konzyklischen Eckpunkten; für allgemeine Punktmengen betrachtet man stattdessen den minimalen Einhüllradius (Covering‑Radius), der nicht notwendigerweise durch ein einzelnes, allen Punkten gleich weit entferntes Zentrum realisiert wird.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Existenz und Optimalität: Umkreisradius erfordert exakte Konzyklizität, während der minimale Einhüllradius eine optimale Überdeckung liefert, selbst wenn kein echter Umkreis existiert; beide stimmen nur in Spezialfällen überein.

Synthese

Der Umkreisradius ist der Zentrum‑zu‑Eckpunkt‑Abstand eines umschreibenden Kreises oder einer umschreibenden Kugel, falls eine solche Umfassung existiert; er quantifiziert die Skala einer zyklischen Konstellation und bildet die Grundlage vieler metrischer Beziehungen in Polygon‑ und Polyedergeometrie.