La plus grande distance entre deux points quelconques d'un ensemble, équivalente à la borne supérieure des distances par paires dans un espace métrique ; pour un cercle ou une sphère le diamètre vaut deux fois le rayon.

Principe

Le diamètre mesure l'étendue globale : c'est la distance par paire suprême et donc un paramètre d'échelle global qui borne chaque distance entre deux points de l'ensemble.

Démonstration

Pour un cercle de rayon r le diamètre vaut 2r ; un sous-ensemble borné de l'espace euclidien a un diamètre fini, tandis qu'un ensemble non borné a un diamètre infini ; un nuage discret a pour diamètre la distance entre la paire la plus éloignée.

Mauvaise application

Supposer que le diamètre est toujours réalisé par une paire de points (la sup peut ne pas être un max dans des espaces métriques non compacts) ou confondre diamètre et longueur de corde dans des domaines non convexes arbitraires.

Conséquence

Le diamètre fournit une borne immédiate pour les distances à l'intérieur de l'ensemble, gouverne les notions de bornitude et de compacité, et apparaît dans des inégalités (par exemple constantes de Lipschitz, nombres de recouvrement).

Inversion

Remplacer la distance maximale globale par une mesure radiale locale donne le rayon ou le rayon inscrit ; utiliser la distance moyenne par paire donne un contraste de tendance centrale à la dispersion maximale.

Limite

Défini dans tout espace métrique mais peut être infini ; dans des contextes non métriques un analogue doit être précisé. Le diamètre de graphes, variétés et ensembles doit se lire avec la fonction distance appropriée.

Tension sémantique

Tension avec des concepts voisins comme la largeur, le diamètre circonscrit ou la plus longue corde : pour des corps convexes le diamètre coïncide avec la plus longue corde, mais en général ces notions divergent.

Synthèse

Le diamètre est la borne supérieure des distances entre points d'un ensemble — la mesure à un seul nombre de la dispersion maximale de l'ensemble qui détermine bornitude et échelle globale.