Der größte Abstand zwischen zwei Punkten einer Menge, äquivalent zum Supremum der paarweisen Abstände in einem metrischen Raum; bei einem Kreis oder einer Kugel ist der Durchmesser das Doppelte des Radius.

Prinzip

Der Durchmesser misst die globale Ausdehnung: er ist das suprema paarweiser Abstände und damit ein globaler Skalenparameter, der jeden paarweisen Abstand innerhalb der Menge beschränkt.

Demonstration

Bei einem Kreis mit Radius r ist der Durchmesser 2r; eine beschränkte Teilmenge des euklidischen Raums hat endlichen Durchmesser, eine unbeschränkte Menge unendlichen Durchmesser; Punktwolken haben als Durchmesser das weiteste Paar.

Fehlanwendung

Anzunehmen, dass der Durchmesser stets durch ein Punktpaar realisiert wird (das Supremum ist in nicht-kompakten Räumen vielleicht kein Maximum) oder den Durchmesser mit einer Sehnenlänge in beliebigen nichtkonvexen Gebieten zu verwechseln.

Konsequenz

Der Durchmesser liefert eine sofortige Schranke für Abstände innerhalb der Menge, steuert Begriffe wie Beschränktheit und Kompaktheit und tritt in Ungleichungen auf (z. B. Lipschitz-Konstanten, Überdeckungszahlen).

Umkehrung

Ersetzt man die globale maximale Distanz durch ein lokales radiales Maß, erhält man Radius- oder Inradius-Konzepte; die durchschnittliche paarweise Distanz bildet einen Mittelwertkontrast zur maximalen Streuung.

Abgrenzung

Definiert in jedem metrischen Raum, kann aber unendlich sein; in nicht-metrischen Kontexten muss ein Analogon spezifiziert werden. Durchmesser von Graphen, Mannigfaltigkeiten und Mengen ist mit der jeweils angewendeten Distanz zu verstehen.

Semantische Spannung

Spannung zu verwandten Begriffen wie Breite, Umkreisdurchmesser oder maximaler Sehne: bei konvexen Körpern stimmt der Durchmesser mit der längsten Sehne überein, allgemein divergieren diese Begriffe.

Synthese

Der Durchmesser ist das Supremum der Abstände zwischen Punkten einer Menge — die eindimensionale Maßzahl für die maximale Streuung, die Beschränktheit und die globale Skala bestimmt.